Endommagement et durée de vie en fluage

Pendant toute sa vie, une pièce qui flue s'abîme de l'intérieur. Cet endommagement se loge surtout sur les joints de grains, les frontières entre les cristaux du métal, mais il est réparti dans tout le volume : imagine un emmental dont les trous ne pousseraient que sur les cloisons entre les grains.

Rappelle-toi ce qui se passe à chaud (cours 1) : les lacunes diffusent, les dislocations glissent et montent, et les grains glissent les uns contre les autres le long de leurs joints, comme des pavés mal jointoyés. Ces mouvements creusent deux familles de trous :

• les cavités rondes, dites « r » (de l'anglais round) : des lacunes se rassemblent sur les joints que la traction écarte, ceux qui sont perpendiculaires à la contrainte, et forment de petites sphères qui grossissent avec le temps ;
• les cavités en coin, dites « w » (de l'anglais wedge, le coin) : quand les grains glissent, ils butent aux points triples, là où trois grains se rencontrent ; la contrainte s'y concentre et ouvre une microfissure en forme de coin.

Le glissement des joints ouvre aussi des cavités derrière les obstacles qu'il rencontre : une marche du joint, une inclusion, un précipité. Toutes ces cavités peuvent coexister dans un même matériau.

Et surtout : l'endommagement ne commence pas au stade tertiaire. Les premières cavités germent dès le stade secondaire, et même dès le stade primaire ; elles sont simplement trop petites pour être vues. L'idée qu'il n'y a « pas d'endommagement avant le tertiaire » vient de là : on ne voit rien, mais tout a commencé.

Trois étapes : germer, croître, s'aligner

Germer. Un joint parfait ne se troue pas tout seul : il faut une concentration de contrainte. Les cavités naissent donc sur les précipités et inclusions des joints, sur leurs marches, et aux points triples, là où le glissement des joints est bloqué. Leur nombre augmente pendant presque toute la vie.

Croître. Une cavité r grossit quand des atomes quittent sa surface et vont se déposer le long du joint voisin, par diffusion intergranulaire (le chemin de Coble, cours 1). Sa vitesse de croissance augmente avec la contrainte normale au joint, avec le coefficient de diffusion aux joints, donc avec la température, et avec la proximité des autres cavités. Une cavité w grandit par glissement des joints qui l'ouvrent.

S'aligner. Comme la croissance dépend de la contrainte normale, les cavités se concentrent sur les joints perpendiculaires à la contrainte principale maximale. Sur une coupe, on les voit former des chapelets alignés sur ces joints : c'est le signe d'un endommagement avancé.

Qui domine, r ou w ?

Une pièce tient tant que la matière entre les cavités, les ligaments, porte la charge. Plus les cavités occupent de place sur les joints, moins il reste de section pour travailler : chaque ligament porte une part de plus en plus lourde. Quand les cavités occupent une fraction assez grande de la section, la pièce rompt, par l'un de trois chemins :

1. Les cavités rondes envahissent les joints. Elles grossissent jusqu'à couvrir toute la surface des joints transverses : les grains se détachent comme les pièces d'un puzzle. C'est le scénario des faibles contraintes et des très longues durées.
2. Les ligaments cèdent. Quand la section restante devient trop faible, les ligaments entre cavités rondes se déforment plastiquement de plus en plus vite et se rompent. C'est le scénario des contraintes plus élevées.
3. Une fissure court de coin en coin. Les cavités en coin se rejoignent de proche en proche et forment une fissure macroscopique qui traverse la pièce.

Dans les trois cas, la cassure suit les joints de grains : la rupture par fluage est essentiellement intergranulaire. Sa surface montre des facettes de grains, criblées de petites alvéoles là où se trouvaient les cavités. Et la pièce a souvent très peu gonflé avant de casser.

Exemple. Acier à 550 °C, R_m = 410 MPa. Sous σ = 80 MPa (service), A_f = 1 − 80/410 ≈ 0,80 : les joints sont aux quatre cinquièmes envahis quand la pièce rompt. Sous σ = 200 MPa (essai accéléré), A_f = 1 − 200/410 ≈ 0,51 : les ligaments cèdent quand la moitié seulement des joints est cavitée.

Pourquoi la ductilité baisse aux longues durées

Sous forte contrainte, les ligaments cèdent tôt, par une déformation plastique importante : l'éprouvette s'allonge, peut même former une striction, et la cassure garde des zones ductiles. Sous faible contrainte, il faut que les cavités envahissent presque tout le joint : la rupture survient après peu de déformation. La ductilité de fluage ε_r diminue donc quand la durée de vie augmente, passant souvent de plusieurs dizaines de pour cent dans les essais courts à quelques pour cent après des dizaines de milliers d'heures.

L'effet d'entaille

Au fond d'une entaille, la matière est bridée : la contrainte devient triaxiale (série Rupture), et la contrainte normale aux joints augmente, ce qui accélère la croissance des cavités. Certains aciers fragilisés par un long service rompent plus vite entaillés que lisses : on dit qu'ils sont sensibles à l'entaille en fluage. On le vérifie par des essais de fluage sur éprouvettes entaillées.

Les alliages résistant au fluage doivent leur force à des précipités fins et nombreux qui barrent la route aux dislocations (cours 1, chapitre 6). Mais à chaud, pendant des années, cette microstructure n'est pas figée : elle vieillit, et ce vieillissement est lui aussi une forme d'endommagement, puisqu'il dégrade les propriétés mécaniques.

Premier phénomène, la coalescence : les petits précipités se dissolvent et nourrissent les gros, par diffusion des atomes à travers la matrice. Il y a toujours autant de matière précipitée, mais en particules moins nombreuses, plus grosses et plus espacées. Comme dans un étang où les gros poissons mangent les petits, les obstacles s'écartent et les dislocations passent plus facilement entre eux : le fluage accélère.

Second phénomène, spectaculaire, la mise en radeaux (en anglais rafting) des superalliages à base de nickel des aubes de turbine. Leur microstructure ressemble à un pavage de petits cubes, la phase γ′ (« gamma prime ») de formule Ni₃(Al,Ti), noyés dans une matrice γ de nickel. Sous contrainte et à haute température, ces cubes se soudent et s'alignent en plaques : couchées perpendiculairement à une traction, dressées parallèlement à une compression, pour la plupart de ces alliages.

La théorie de Lifshitz, Slyozov et Wagner (dite LSW) prévoit que le rayon moyen r des précipités suit :

Pourquoi cela affaiblit-il l'alliage ? Une dislocation qui ne peut ni couper ni contourner par montée un précipité s'arque entre deux obstacles et passe en les entourant : c'est le mécanisme d'Orowan. La contrainte nécessaire varie comme μb/λ (μ module de cisaillement, b vecteur de Burgers, λ distance entre précipités). À fraction précipitée constante, λ est proportionnelle à la taille r : doubler la taille des précipités divise par deux leur effet durcissant.

Exemple. Des cubes de γ′ de 400 nm d'arête, avec k = 4,0 × 10⁴ nm³/h à 1 000 °C : après 1 000 h, a = (400³ + 4,0 × 10⁴ × 1 000)^1/3 ≈ 470 nm ; après 10 000 h, a = (6,4 × 10⁷ + 4,0 × 10⁸)^1/3 ≈ 774 nm. La taille a presque doublé : le durcissement d'Orowan est divisé par 1,9.

Les radeaux des superalliages

Les mailles cristallines de γ et de γ′ ont presque la même taille ; leur petite différence relative s'appelle le désaccord paramétrique δ (« delta »), souvent négatif dans les superalliages actuels (γ′ a la maille un peu plus petite). Cet écart crée des contraintes internes qui, ajoutées à la contrainte appliquée, rendent certaines interfaces plus favorables que d'autres : les cubes s'allongent et se soudent dans une direction.

Des radeaux perpendiculaires à la traction peuvent d'abord ralentir le fluage, car les dislocations doivent alors traverser les plaques de γ′. Mais avec le temps les radeaux s'épaississent et la matrice γ devient minoritaire et discontinue : la microstructure ne protège plus, et le fluage tertiaire s'installe.

Et dans les aciers ?

Les aciers résistant au fluage vieillissent eux aussi : les carbures grossissent, les sous-grains s'élargissent, de nouvelles phases apparaissent. Dans les vieux aciers au molybdène, la perlite se globulise : ses lamelles de cémentite se fragmentent en globules. Dans les aciers à 9 à 12 % de chrome, une phase dite Z, un nitrure de chrome, de vanadium et de niobium, peut se former en dissolvant les fins carbonitrures qui faisaient la résistance : la résistance à long terme chute plus que ne le prévoyaient les essais courts.

Une pièce de centrale doit vivre des dizaines d'années, sous une contrainte « faible » et à une température « basse » pour le fluage. Personne ne peut attendre aussi longtemps pour connaître sa durée de vie. On réalise donc des essais plus chargés ou plus chauds, qui cassent en quelques centaines ou milliers d'heures, puis on extrapole vers le service. Plus la contrainte et la température augmentent, plus la durée de vie diminue : les résultats forment un faisceau de courbes qui descendent. Toute la question est de prolonger ces courbes sans se tromper, alors que les mécanismes de déformation et d'endommagement changent avec la contrainte et la température.

La méthode la plus simple s'appuie sur une observation faite par F. C. Monkman et N. J. Grant en 1956 : pour un matériau donné, le produit de la vitesse minimale par la durée de vie reste à peu près constant. C'est la logique d'un trajet en voiture : la distance est fixée, donc qui roule deux fois plus vite arrive deux fois plus tôt. Ici, la « distance » est un budget de déformation, et la « vitesse » est la vitesse de fluage secondaire, qui occupe la plus grande partie de la vie.

Mode d'emploi : on mesure C_MG sur des essais sévères et courts ; on lance ensuite un essai dans les conditions de service, jusqu'à atteindre la vitesse minimale ; on en déduit t_r = C_MG/ε̇_min. Simple, mais il faut tenir l'essai jusqu'au minimum de vitesse, et la « constante » ne l'est qu'à peu près.

En coordonnées logarithmiques, elle s'écrit log t_r = log C_MG − log ε̇_min : une droite de pente −1. Les données réelles donnent souvent une pente un peu différente, d'où la forme généralisée, autre écriture courante :

Constante de Monkman-Grant et ductilité

Le produit ε̇_min·t_r est la déformation qu'aurait accumulée la pièce si elle avait flué toute sa vie à la vitesse minimale. La ductilité réelle ε_r est plus grande, car les stades primaire et tertiaire ajoutent leur part. Leur rapport λ = ε_r/(ε̇_min·t_r) vaut souvent 1,5 à 5 : plus il est grand, plus le tertiaire est développé. Et comme la ductilité baisse aux longues durées (chapitre 2), le produit ε̇_min·t_r baisse lui aussi : la « constante » dérive.

Exemple (manipulation 4). Les 45 essais donnent C_MG ≈ 0,051 en forme classique, et m ≈ 0,93 en forme généralisée. Un essai à 70 MPa et 550 °C atteint sa vitesse minimale, 1,50 × 10⁻¹⁰ s⁻¹, au bout d'environ 17 000 h. Forme classique : t_r = 0,051/1,50 × 10⁻¹⁰ ≈ 3,4 × 10⁸ s ≈ 94 000 h. Forme généralisée : environ 68 000 h. La pièce rompt en réalité vers 66 000 h : la forme classique, calée sur des essais courts plus ductiles, surestime la vie de plus de 40 %.

Un essai court et chaud ressemble, pour la matière, à un service long et plus froid : les mêmes sauts d'atomes se produisent, simplement plus vite. Le temps et la température sont donc, dans une certaine mesure, échangeables. F. R. Larson et J. Miller ont proposé en 1952 de réunir les deux dans un seul nombre, le paramètre de Larson-Miller :

Pour un matériau donné, ce paramètre ne dépend que de la contrainte. Si l'on trace la contrainte de rupture en fonction de P_LM, les essais de toutes les températures se rangent sur une seule courbe maîtresse, comme des cartes rassemblées en un paquet. L'utilisation est alors simple : pour une contrainte et une température de service, on lit P_LM sur la courbe, et l'on en déduit la durée de vie.

Un exemple pour sentir l'échange : avec C = 20, 100 000 h à 550 °C « valent » environ 3 700 h à 600 °C, et 200 h à 650 °C. Cinquante degrés de plus divisent le temps par 27, cent degrés par 500.

D'où vient le paramètre

On admet que la vitesse minimale suit une loi d'activation dont l'énergie Q dépend de la contrainte, sans qu'on ait besoin de connaître cette fonction : ε̇_min = A·exp(−Q(σ)/RT), A étant une constante. On y ajoute la relation de Monkman-Grant ε̇_min·t_r = C_MG (chapitre 4). Il vient t_r = (C_MG/A)·exp(Q(σ)/RT), puis, en prenant le logarithme népérien et en multipliant par T :

Le membre de gauche ne dépend que de la contrainte : voilà pourquoi tous les essais se rangent sur une courbe unique P_LM(σ). Au passage, on obtient l'énergie d'activation apparente : Q(σ) = R·ln 10·P_LM(σ). Pour l'acier modèle, la rupture en 100 000 h à 550 °C, sous environ 71 MPa, correspond à P_LM ≈ 20 580 K, d'où Q ≈ 8,314 × 2,303 × 20 580 ≈ 394 kJ/mol.

Trouver C

Deux méthodes, qui donnent la même chose. Par la dispersion : on choisit la valeur de C qui rassemble le mieux les essais sur une courbe unique (manipulation 5). Par le dessin : à contrainte fixée, P_LM est constant, donc log t_r = P_LM/T − C ; en traçant log t_r en fonction de 1/T pour plusieurs contraintes, on obtient des droites qui convergent toutes, pour 1/T = 0, vers le point log t_r = −C.

S'en servir

Exemple 1, équivalence temps-température (C = 20). 100 000 h à 550 °C (823,15 K) donnent P = 823,15 × (20 + 5) = 20 579 K. À 600 °C (873,15 K), le même P correspond à log t_r = 20 579/873,15 − 20 = 3,569, soit 3 700 h : un essai de cinq mois renseigne sur onze ans de service, si les mécanismes sont les mêmes.

Exemple 2, durée de vie. La courbe maîtresse de l'acier modèle, issue des valeurs normalisées d'un acier 2,25Cr-1Mo, s'écrit log σ = 0,348313 + 0,393169 P − 0,015554 P² (σ en MPa, P en milliers). Sous 80 MPa, on résout cette équation du second degré : P ≈ 20,37. À 575 °C (848,15 K) : log t_r = 20 370/848,15 − 20 ≈ 4,02, soit environ 10 400 h.

Monkman-Grant et Larson-Miller ne retiennent de chaque essai qu'un ou deux nombres. Pourtant la courbe de fluage entière contient bien plus d'information : la façon dont la vitesse ralentit, puis s'emballe. Deux familles de modèles cherchent à l'exploiter.

La projection θ (« thêta ») décompose la courbe en deux termes : un terme primaire, qui démarre vite puis sature, et un terme tertiaire, qui reste discret puis explose. Quatre paramètres suffisent à les décrire. On mesure comment ils varient avec la contrainte sur des essais chargés, puis on les « projette » vers la contrainte de service : on y prévoit toute la courbe, et la rupture là où la déformation atteint la ductilité.

L'approche de Rabotnov et Kachanov introduit une grandeur nouvelle, l'endommagement ω (« oméga »), qui vaut 0 sur la matière saine et 1 à la rupture : c'est la charge consommée d'une batterie. Plus ω augmente, moins il reste de matière pour porter la contrainte (chapitre 2), donc plus la déformation et l'endommagement accélèrent. Ce modèle donne la forme de toute la fin de vie : en mesurant le début de la courbe d'une pièce en service, on peut en déduire sa fin.

La projection θ

Les θ_i sont ajustés numériquement sur chaque courbe mesurée, à une température donnée et sous des contraintes plus fortes qu'en service. On décrit ensuite leur variation avec la contrainte, ainsi que celle de la ductilité :

Les résultats sont globalement corrects dans le domaine des essais, mais l'approche reste empirique : la forme « ln θ linéaire en σ » n'a pas de raison physique de rester valable loin des contraintes d'essai. Dans la manipulation 6, calée entre 125 et 230 MPa, elle prévoit 4 300 h à 125 MPa (réalité : 4 700 h), mais 30 000 h à 70 MPa, pour 66 000 h en réalité.

Rabotnov-Kachanov

À une température donnée, la vitesse de déformation et la vitesse d'endommagement accélèrent toutes deux avec ω :

On intègre ces deux équations avec les conditions ε = 0 et ω = 0 à t = 0, ε = ε_r et ω = 1 à t = t_r. L'équation d'endommagement donne t_r = 1/((r + 1)Bσ^k) et ω = 1 − (1 − t/t_r)^1/(r+1). En combinant les deux :

Exemple (m = 1/3). À mi-vie, ε/ε_r = 1 − 0,5^1/3 = 0,21 : la pièce n'a consommé que 21 % de sa ductilité. À 90 % de la vie, 1 − 0,1^1/3 = 0,54 : à peine la moitié. Presque toute la déformation se concentre à la toute fin : une déformation encore modeste ne prouve pas que la vie restante est longue.

Durée de vie restante. Si l'on mesure la déformation ε d'une pièce au temps t et que l'on connaît ε_r et m, on inverse : t/t_r = 1 − (1 − ε/ε_r)^1/m. Plus généralement, connaissant le début d'une courbe de fluage en service, on retrouve ε_r et t_r par simple régression : ce n'est qu'une estimation, d'autant plus fragile que la mesure est précoce.

La méthode la plus récente, celle de B. Wilshire, part d'un constat : la résistance au fluage évolue avec la température comme les propriétés de traction (limite d'élasticité, résistance à la traction). Elle mesure donc la contrainte par rapport à la résistance à la traction R_m à la même température. Le rapport σ/R_m a deux bornes naturelles : à σ = R_m, la pièce casse tout de suite ; quand σ tend vers zéro, sa durée de vie devient infinie. Une loi qui respecte ces deux bornes a de bonnes chances de rester raisonnable quand on l'extrapole.

Reste le pari. Toutes les méthodes de ce cours sont calées sur des essais plus courts que le service, puis prolongées. Si un mécanisme lent n'apparaît qu'aux longues durées (une phase qui précipite, des cavités qui s'accumulent à la température de service), aucun essai court ne le voit, et toutes les méthodes risquent de se tromper. Dans la manipulation 7, la « réalité » contient justement un tel mécanisme. Souviens-toi du cours 1 : sa loi de Norton (n = 5, Q = 300 kJ/mol), calée sur des essais courts, promettait 90 000 h à la tuyauterie sous 70 MPa et 550 °C ; la « réalité » de ce cours, avec son mécanisme lent, ne lui en accorde que 66 000. À toi de voir quelle méthode s'en sort, et à partir de quelle durée d'essais.

Enfin, pour une pièce déjà en service, la question devient : combien de vie lui reste-t-il ? On additionne les fractions de vie consommées dans chaque condition de fonctionnement, et l'on recoupe avec les mesures faites sur la pièce.

Les équations de Wilshire

Il faut d'abord mesurer la résistance à la traction R_m à la température T qui nous intéresse. Wilshire trouve alors trois corrélations de même forme :

En prenant deux fois le logarithme de la première : ln[−ln(σ/R_m)] = ln k₁ + u·ln[t_r·exp(−Q*/RT)]. Dans ce diagramme, on cherche la valeur de Q* qui aligne tous les essais, quelles que soient la contrainte et la température, sur une seule droite. Pour prévoir une durée de vie, on reporte σ/R_m, on lit l'abscisse et l'on en déduit t_r.

Exemple (constantes ajustées sur la campagne complète de la manipulation 7 : Q* = 300 kJ/mol, k₁ = 96, u = 0,162 ; R_m = 410 MPa à 550 °C). Pour t_r = 100 000 h = 3,6 × 10⁸ s : ln[t_r·exp(−Q*/RT)] = 19,70 − 43,84 = −24,13 ; ln[−ln(σ/R_m)] = ln 96 + 0,162 × (−24,13) = 0,655 ; donc σ/R_m = exp(−e^0,655) = 0,146, et σ ≈ 60 MPa.

Cinq méthodes, cinq paris

Prudence : la règle du facteur 3

Une règle de prudence répandue limite l'extrapolation à environ trois fois la durée des plus longs essais : pour annoncer une résistance à 100 000 h, il faut des essais d'au moins 30 000 h environ, soit près de trois ans et demi. Les valeurs des normes sont régulièrement réévaluées quand des essais plus longs se terminent, et elles ont parfois été revues à la baisse.

Compter la vie consommée : la règle de Robinson

Exemple (« réalité » de la manipulation 7). Une tuyauterie a passé 40 000 h à 550 °C sous 70 MPa (t_r = 66 100 h), plus 3 000 h à 575 °C à la suite d'un défaut de régulation (t_r = 14 800 h) : D = 40 000/66 100 + 3 000/14 800 = 0,605 + 0,203 = 0,81. Il reste 19 % de la vie, soit environ 12 700 h à 550 °C. Les 3 000 h de surchauffe ont consommé autant de vie que 13 400 h de service normal.

Cherche chaque question sur papier avant d'ouvrir la correction. Écris la formule littérale, puis les valeurs avec leurs unités. Données utiles : R = 8,314 J/(mol·K) ; 1 h = 3 600 s ; T(K) = T(°C) + 273,15. Les manipulations 2 à 7 permettent de vérifier tes résultats ; le défi se rejoue entièrement dans la manipulation 7.