Relier, puis conclure : la pièce tient-elle ?

Au cours 1, une traction σ selon x donnait un allongement σ/E selon x, et deux rétrécissements −νσ/E selon y et z (Poisson). En 3D, trois tractions peuvent agir en même temps. En élasticité linéaire, leurs effets s'additionnent simplement (c'est le principe de superposition) : chaque contrainte fait sa part, et on fait la somme.

Selon x, par exemple : σ_xx allonge de σ_xx/E ; σ_yy et σ_zz, par effet Poisson, raccourcissent de ν·σ_yy/E et ν·σ_zz/E. D'où :

Les six équations tiennent en une seule ligne, celle de la page 13 du polycopié (loi de Hooke) :

Vérification sur la diagonale : ε_xx = (1 + ν)σ_xx/E − ν(σ_xx + σ_yy + σ_zz)/E = [σ_xx − ν(σ_yy + σ_zz)]/E ✅. Hors diagonale : le terme en 𝕀 ne contribue pas, il reste ε_xy = (1 + ν)τ_xy/E = τ_xy/(2G), puisque G = E/(2(1 + ν)) (cours 1).

La variation de volume (la trace de ℇ, cours 1) : en prenant la trace des deux membres, on trouve

Pour ν = 0,5, 1 − 2ν = 0 : le volume ne change jamais, K est infini. C'est la limite physique du cours 1 (ν ≤ 0,5).

En pratique, on mesure souvent des déformations (avec des jauges, cours 3) et on veut les contraintes. Il faut donc inverser la loi de Hooke. Le résultat s'appelle la loi de Lamé (du nom de Gabriel Lamé, rencontré au cours 2 avec son ellipse), page 13 du polycopié :

Elle se lit en deux morceaux : 2μ·ℇ, une contrainte proportionnelle à la déformation elle-même, direction par direction (μ n'est autre que le module de cisaillement G) ; et λ·trace(ℇ)·𝕀, un supplément identique dans les trois directions, proportionnel au changement de volume trace(ℇ). Attention, la résistance au changement de volume fait intervenir les deux coefficients : c'est le module de compressibilité K = λ + 2μ/3. Deux coefficients suffisent toujours pour décrire un matériau isotrope : (E, ν) ou (λ, μ), c'est le même matériau décrit dans deux langues.

Contrainte plane (σ_zz = 0 : tôle mince, surface libre). En écrivant ε_xx et ε_yy avec Hooke et en résolvant pour σ_xx, σ_yy :

Déformation plane (ε_zz = 0 : pièce longue bloquée selon z). La troisième équation de Hooke donne 0 = σ_zz − ν(σ_xx + σ_yy), donc σ_zz = ν(σ_xx + σ_yy) : une contrainte apparaît selon z, justement pour empêcher la déformation. Les deux cas « plans » ne sont décidément pas les mêmes (cours 3).

L'essai de traction (cours 1) fournit un seul nombre : la limite d'élasticité Rₑ, mesurée en traction simple. Or une vraie pièce subit un état 3D, avec trois contraintes principales. Comment savoir si elle plastifie ? Il faut un critère : une règle qui traduit l'état 3D en une contrainte équivalente σ_éq, un seul nombre, à comparer à Rₑ :

L'idée de Tresca (Henri Tresca, ingénieur français, 1864, à partir de ses essais d'écoulement des métaux sous poinçon) : c'est le cisaillement maximal qui décide. On sait aujourd'hui pourquoi : les métaux plastifient par glissement de plans cristallins, grâce aux dislocations du cours 1, et ce glissement est piloté par le cisaillement. En traction simple, la plasticité démarre à σ = Rₑ, où τ_max = Rₑ/2 (le résultat du cours 1, à 45°). Tresca en déduit la règle : quel que soit l'état 3D, la pièce reste élastique tant que

La pression hydrostatique ne compte pas. Ajouter la même valeur p aux trois contraintes principales déplace le tricercle en bloc, sans changer sa taille : σ_I − σ_III ne bouge pas. Un métal sous 300 MPa de pression uniforme ne plastifie pas, ce que l'expérience confirme pour la plasticité des métaux.

Le cas d'un état plan (σ_zz = 0, principales du plan σ₁ et σ₂) : il faut ranger 0 avec les deux autres. Si σ₁ et σ₂ sont de même signe, σ_Tresca = max(|σ₁|, |σ₂|) ; s'ils sont de signes opposés, σ_Tresca = |σ₁ − σ₂|.

Traction + cisaillement (le cas d'un arbre en flexion et torsion, ou d'une section de poutre) : σ et τ dans le plan, σ_zz = 0. Les principales du plan sont σ/2 ± √((σ/2)² + τ²), de signes opposés, d'où

Tresca ne regarde que le plus grand des trois cercles. Von Mises (Richard von Mises, mathématicien, 1913) tient compte des trois : il fait une sorte de moyenne quadratique des trois écarts entre contraintes principales :

Physiquement, von Mises mesure l'énergie élastique stockée en changeant la forme de la matière (sa distorsion), en ignorant celle qui change seulement son volume. C'est le critère le plus utilisé en calcul de structures et dans les logiciels, car il colle très bien aux essais sur les métaux ductiles.

Le cas qui sert partout : une contrainte normale σ et un cisaillement τ dans le même plan (poutres, arbres, soudures) :

En composantes, sans passer par les contraintes principales (pratique quand la matrice est donnée dans un repère quelconque) :

Lien avec le défi du cours 2 : σ_VM = (3/√2)·τ_oct, où τ_oct est le cisaillement sur la facette octaédrique. Et comme pour Tresca, une pression hydrostatique ne change rien : seuls les écarts entre contraintes principales interviennent.

Tresca ou von Mises ? On a toujours σ_VM ≤ σ_Tresca ≤ 1,155·σ_VM (1,155 = 2/√3). Tresca est donc plus prudent (sur la figure, l'hexagone est à l'intérieur de l'ellipse), d'au plus 15,5 %. Cet écart maximal est atteint quand la contrainte principale intermédiaire est exactement au milieu des deux autres : en cisaillement pur (τ ; 0 ; −τ), mais aussi pour une paroi de réservoir (σ ; σ/2 ; 0). Les deux coïncident en traction simple et en traction égale dans deux directions.

La forme du polycopié : le déviateur (p. 16)

Le polycopié écrit von Mises avec le déviateur des contraintes, la partie de [σ] qui change la forme :

On retire à [σ] sa partie hydrostatique (la contrainte moyenne sur la diagonale) : il ne reste que ce qui déforme sans changer le volume. D'où la propriété déjà vue : une pression uniforme ne compte pas. Et l'énergie de distorsion dont parle le polycopié est proportionnelle à σ_D : ε_D.

Les figures 7 à 10 du polycopié. En contrainte plane, on retrouve l'hexagone de Tresca inscrit dans l'ellipse de von Mises (manipulation 4). En 3D, les deux critères sont des cylindres d'axe σ₁ = σ₂ = σ₃ (l'axe hydrostatique) : un prisme à base hexagonale pour Tresca, un cylindre à base circulaire pour von Mises. Vus dans l'axe (figure 10), l'hexagone est inscrit dans le cercle. Qu'ils soient infinis le long de cet axe traduit encore une fois que la pression uniforme ne fait pas plastifier.

1. L'état de contrainte au point le plus chargé : la matrice [σ] (donnée par l'énoncé, calculée par la RDM, ou déduite de déformations mesurées grâce à la loi de Lamé).
2. Les contraintes principales (cours 4) : cercle de Mohr pour un bloc plan, équation caractéristique sinon.
3. La contrainte équivalente : σ_Tresca = σ_I − σ_III et/ou σ_VM.
4. Le coefficient de sécurité : s = Rₑ/σ_éq.
5. Le verdict : comparer s à la valeur exigée (ou σ_éq à Rₑ/s).

La manipulation fait les cinq étapes pour toi, sur n'importe quelle matrice : utilise-la pour vérifier les exercices, pas pour les remplacer.

Exemple type : un arbre en acier S235 est soumis, en un point de sa surface, à σ = 120 MPa (flexion) et τ = 60 MPa (torsion). Coefficient de sécurité exigé : 1,5.

« Surface libre : contrainte plane. Contraintes principales du plan : 60 ± √(60² + 60²) = 144,9 et −24,9 MPa ; avec σ_zz = 0 : σ_I = 144,9 ; σ_II = 0 ; σ_III = −24,9 MPa. Tresca : σ_T = 144,9 + 24,9 = 169,7 MPa (= √(σ² + 4τ²)) ; s = 235/169,7 = 1,38. Von Mises : σ_VM = √(120² + 3 × 60²) = 158,7 MPa ; s = 235/158,7 = 1,48. Conclusion : pas de plasticité (s > 1), mais le coefficient exigé de 1,5 n'est atteint ni avec Tresca, ni (de justesse) avec von Mises : la pièce est à redimensionner. »

Plie un trombone une fois : il tient. Plie-le et déplie-le trente fois : il casse. Pourtant, tu n'as jamais forcé davantage. C'est la fatigue (polycopié, p. 18) : sous une charge variable, répétée un grand nombre de fois, une pièce peut rompre à une contrainte bien inférieure à Rₑ. Une petite fissure naît en un point faible (une rayure, un angle vif, le pied d'un cordon de soudure) et progresse un peu à chaque cycle.

L'essai de fatigue consiste à faire subir à des éprouvettes une contrainte alternée d'amplitude σ_a, et à compter le nombre de cycles N avant rupture. On obtient la courbe de Wöhler (du nom de l'ingénieur allemand August Wöhler, qui étudiait les ruptures d'essieux de train vers 1860) : plus l'amplitude est forte, plus la vie est courte.

Pour beaucoup d'aciers, la courbe devient horizontale : en dessous d'une amplitude appelée limite d'endurance, notée σ_D par le polycopié, la pièce supporte un nombre illimité de cycles. Le polycopié en tire la règle de dimensionnement : on remplace Rₑ par σ_D dans le critère de résistance.

Ordres de grandeur pour un acier lisse : la limite d'endurance vaut typiquement 0,4 à 0,5 fois Rₘ (la résistance à la traction, cours 1), et elle est atteinte vers 10⁶ à 10⁷ cycles (la figure du polycopié, graduée jusqu'à 10⁵, est schématique). Elle diminue fortement avec l'état de surface, la taille de la pièce et les concentrations de contrainte.

La contrainte moyenne compte aussi. Si la contrainte oscille autour d'une valeur moyenne σ_m non nulle, une moyenne de traction réduit l'amplitude supportable (diagrammes de Haigh, droite de Goodman), une moyenne de compression l'augmente.

Essaie chaque question de tête 2 à 3 minutes, puis regarde la fiche mémoire, puis le chapitre. Sauf mention contraire, acier : E = 210 GPa, ν = 0,3. Les manipulations 1, 2 et 5 permettent de vérifier tes résultats.