Trouver les contraintes qui comptent

Découpe par la pensée un petit carré de matière, bien aligné sur les axes x et y. Ses faces portent des contraintes normales (σ_xx, σ_yy) et un cisaillement (τ_xy). Maintenant, fais tourner le carré d'un angle φ, sans rien changer au chargement : les contraintes sur ses nouvelles faces changent, puisqu'elles dépendent de l'orientation des facettes (cours 2).

Il existe toujours une orientation où le cisaillement disparaît sur les quatre faces : le carré n'est plus que tiré ou comprimé. Ses côtés sont alors alignés sur les directions principales, et les contraintes normales qu'il porte sont les contraintes principales. L'une est la plus grande contrainte normale possible en ce point, l'autre la plus petite.

C'est le drapeau dans le vent : sur une facette principale, le vecteur contrainte T⃗ s'aligne exactement sur la normale n⃗, sans composante qui fasse glisser. Tu l'avais déjà aperçu avec les lignes vertes du « hérisson de facettes » du cours 2.

Une facette de normale n⃗ est principale si le vecteur contrainte est colinéaire à n⃗ (même direction, au sens près) :

Comme [σ] est symétrique (le petit carré qui ne tourne pas, cours 1), un théorème de mathématiques (le théorème spectral) garantit qu'il existe toujours trois directions principales, perpendiculaires entre elles, et trois contraintes principales réelles. Dans cette base principale (e_I, e_II, e_III), la matrice est diagonale (polycopié, p. 12) :

En état plan (σ_xx, σ_yy, τ_xy), chaque orientation de facette donne un point (σ_n ; τ), et tous ces points forment un cercle : tu l'as vu aux cours 2 et 3. La bonne nouvelle, c'est qu'on n'a pas besoin de calculer tous les points : deux suffisent, ceux des faces x et y du petit carré.

La recette de construction (avec la convention du polycopié) :
1. Place X = (σ_xx ; τ_xy), le point de la face x.
2. Place Y = (σ_yy ; −τ_xy), le point de la face y : il est symétrique de X par rapport au centre.
3. Le segment XY est un diamètre : son milieu, sur l'axe horizontal, est le centre C.
4. Trace le cercle de centre C passant par X.
5. Les deux points où le cercle coupe l'axe horizontal sont les contraintes principales (τ = 0).
6. Les points le plus haut et le plus bas donnent le cisaillement maximal dans le plan.

Avec la convention du polycopié (t⃗ = n⃗ tourné de +90°), les formules des cours 2 et 3 s'écrivent :

Piège 1 : tan 2φ_p a deux solutions, à 90° l'une de l'autre sur la pièce. Pour savoir laquelle correspond à σ₁ : remplace dans la formule de σ_n, ou utilise φ₁ = ½·atan2(2τ_xy, σ_xx − σ_yy) (atan2 : l'arc tangente à deux arguments des logiciels, qui tient compte des signes ; Excel inverse l'ordre de ses deux arguments). Règle rapide : si σ_xx > σ_yy, la solution entre −45° et +45° est σ₁.

Piège 2 : sur les facettes du cisaillement maximal, σ_n n'est pas nul. Le point le plus haut du cercle a pour abscisse C : ces facettes, à 45° des directions principales, portent τ = R et σ_n = C.

Piège 3 : en contrainte plane, il y a une troisième contrainte principale, σ_zz = 0 (direction z, perpendiculaire au plan). Elle n'apparaît pas sur le cercle du plan, mais elle compte pour le cisaillement maximal réel : c'est tout le chapitre 4. Rappel du polycopié (p. 12) : tout point d'une surface libre est en contrainte plane.

En 3D, plus de cercle pour tout trouver d'un coup : on cherche les trois contraintes principales comme les solutions d'une équation du troisième degré, l'équation caractéristique. Ses coefficients sont trois nombres très particuliers, les invariants :

Pourquoi « invariants » ? Parce que si tu tournes les axes, les 6 cases de la matrice changent toutes, mais I₁, I₂ et I₃ restent les mêmes. C'est l'étiquette du colis : quelle que soit la façon dont tu tournes la boîte, ce qui est écrit dessus ne change pas. Normal : ils décrivent l'état de contrainte lui-même, pas le repère.

Le cas le plus fréquent en examen : une direction principale est déjà connue. Si τ_xz = τ_yz = 0, la direction z est principale et σ_zz est une contrainte principale. Il reste un bloc 2 × 2 en (x, y) : on le traite avec le cercle de Mohr du chapitre 2. Pas d'équation du troisième degré à résoudre.

D'où vient l'équation. [σ]n⃗ = σn⃗ s'écrit ([σ] − σ𝕀)n⃗ = 0⃗ (𝕀 : la matrice identité). Pour qu'une direction n⃗ non nulle existe, la matrice ([σ] − σ𝕀) doit être « aplatie », ce qui se traduit par un déterminant nul :

En développant, on obtient l'équation caractéristique, avec :

Résoudre à la main. En examen, les matrices sont choisies pour que ce soit faisable : 1. cherche d'abord une direction principale évidente (une ligne et une colonne nulles hors diagonale) ; 2. sinon, cherche une racine évidente en essayant des valeurs simples (les termes diagonaux, 0, des multiples de 10…) ; 3. une fois une racine σ₀ trouvée, factorise par (σ − σ₀) et résous l'équation du second degré qui reste.

Les directions principales. Pour chaque σ trouvée, résous ([σ] − σ𝕀)n⃗ = 0⃗ : deux équations indépendantes suffisent, puis normalise n⃗. Astuce : n⃗ est perpendiculaire à deux lignes de ([σ] − σ𝕀), donc proportionnel à leur produit vectoriel.

Une fois σ_I ≥ σ_II ≥ σ_III connues, on trace trois cercles sur l'axe horizontal, chacun ayant pour diamètre l'écart entre deux contraintes principales : [σ_III ; σ_II], [σ_II ; σ_I] et le grand [σ_III ; σ_I]. C'est le tricercle de Mohr de la page 13 du polycopié : trois bulles de savon, la grande contenant les deux petites.

Le résultat remarquable : le point (σ_n ; τ) de n'importe quelle facette, dans n'importe quelle direction de l'espace, tombe dans la zone située à l'intérieur du grand cercle et à l'extérieur des deux petits. La manipulation le montre en tirant des centaines de facettes au hasard.

Et donc, le cisaillement maximal en ce point est le rayon du grand cercle :

Pour une facette quelconque, de normale n⃗ = (n₁ ; n₂ ; n₃) dans la base principale : σ_n = σ_In₁² + σ_IIn₂² + σ_IIIn₃² et τ² = σ_I²n₁² + σ_II²n₂² + σ_III²n₃² − σ_n² (c'est la méthode M-P-P du cours 2, dans la base principale). Les facettes qui contiennent une direction principale (n_i = 0 pour un i) sont sur les cercles eux-mêmes ; toutes les autres sont dans la zone.

Le cisaillement maximal vaut (σ_I − σ_III)/2, sur les facettes de normale n⃗ = (1/√2 ; 0 ; ±1/√2) dans la base principale, qui portent aussi σ_n = (σ_I + σ_III)/2.

La plupart des sujets donnent une matrice où une direction est déjà principale (souvent z). Voici la check-list du pilote, à suivre sans sauter de ligne :

1. Repérer la direction principale évidente (ligne et colonne nulles hors diagonale) : sa valeur diagonale est une contrainte principale.
2. Cercle du bloc 2 × 2 restant : C, R, puis σ₁ et σ₂ = C ± R.
3. Ranger les trois valeurs : σ_I ≥ σ_II ≥ σ_III, sans oublier la troisième.
4. Orienter : angle φ_p dans le plan, et la direction évidente.
5. Tracer le tricercle.
6. Conclure : τ_max = (σ_I − σ_III)/2, et la facette où il agit.

Rédaction type pour [σ] = 6040040000020 MPa :
« τ_xz = τ_yz = 0 : z est direction principale, de contrainte 20 MPa. Bloc (x, y) : C = 30 MPa, R = √(30² + 40²) = 50 MPa, d'où 80 et −20 MPa. Rangement : σ_I = 80, σ_II = 20, σ_III = −20 MPa. Direction I : tan 2φ = 80/60, φ_I = 26,6° par rapport à x. τ_max = (80 − (−20))/2 = 50 MPa, sur les facettes à 45° entre I et III. »

Vérification par les invariants : I₁ = 60 + 0 + 20 = 80 = 80 + 20 − 20 ✅ ; I₃ = 20 × (60 × 0 − 40²) = −32 000 = 80 × 20 × (−20) ✅.

Essaie chaque question de tête 2 à 3 minutes, puis regarde la fiche mémoire, puis le chapitre. Les manipulations 2, 3 et 5 permettent de vérifier tes résultats.