Une matrice pour connaître toutes les facettes

Pose ta main à plat sur une vitre et pousse en biais, vers le haut. Ta paume ressent deux choses à la fois : une poussée qui l'écrase contre la vitre (perpendiculaire), et un frottement qui la fait glisser (parallèle). La force par unité de surface que ressent ta paume, avec sa direction, c'est le vecteur contrainte T.

Dans la matière, c'est pareil. Choisis un point M, et fais passer par ce point une petite surface imaginaire, la facette. Coupe par la pensée : la matière d'un côté exerce sur l'autre une force répartie. Ramenée à la surface, cette force est le vecteur T, en MPa.

La phrase à retenir : en un point, T dépend de la facette choisie. Change n, et T change de longueur et de direction. La manipulation ci-dessous le montre : fais tourner la facette autour du point, et regarde la flèche noire.

1. En général, T⃗ n'est pas parallèle à n⃗. La facette est à la fois tirée (ou poussée) et cisaillée. C'est exactement la main sur la vitre.

2. Il existe des orientations spéciales où T⃗ est pile dans l'axe de n⃗ : aucun cisaillement sur ces facettes. Ce sont les directions principales, le cœur du cours 4. Cherche-les avec le curseur : il y en a deux, perpendiculaires entre elles.

3. Avec « Pression d'un fluide », T⃗ est toujours parallèle à n⃗ et pointe vers l'intérieur : un plongeur ressent la même poussée dans toutes les directions, sans aucun frottement. Toutes les facettes sont principales.

Soit une facette d'aire dS (« d » pour « très petite ») autour du point M, de normale unitaire sortante n. La matière située du côté de n exerce sur elle une force dF. On définit :

T(M, n)

vecteur contrainte au point M sur la facette de normale n⃗ : il dépend de deux choses, le point et l'orientation

dF

force élémentaire exercée sur la facette, en N

dS

aire élémentaire de la facette, en mm²

Le principe d'action et de réaction

Retourne la facette (normale −n) : tu regardes maintenant l'autre morceau de matière. Il subit la force opposée :

C'est pour ça que, sur le cube du cours 1, les faces cachées portent les mêmes flèches en sens inverse : elles n'apportent aucune information nouvelle.

Normale et tangentielle

On décompose toujours T en deux morceaux : sa projection sur n, la contrainte normale σ_n (positive en traction), et le reste, dans le plan de la facette, le cisaillement τ. On apprendra à les calculer au chapitre 4.

En dessin industriel, trois vues (face, dessus, gauche) suffisent pour définir entièrement une pièce : toutes les autres vues s'en déduisent. En contraintes, c'est pareil. Si tu connais T sur trois facettes perpendiculaires (celles de normales x, y et z), tu peux calculer T sur n'importe quelle autre facette.

Pourquoi ? Découpe un petit coin de matière avec une facette inclinée. Ce coin est en équilibre : les forces sur ses faces s'annulent. Les forces sur les faces « x », « y » (et « z » en 3D) étant connues, la force sur la face inclinée est forcée : c'est celle qui ferme le bilan.

Et comme chacun des trois vecteurs T a 3 composantes, il faut 3 × 3 = 9 nombres : ce sont exactement les 9 cases de [σ]. La matrice n'est pas une convention arbitraire, c'est le minimum d'information nécessaire.

Ce résultat est dû à Augustin-Louis Cauchy, mathématicien français, en 1822 : c'est l'acte de naissance du tenseur des contraintes.

Prends un tétraèdre (une pyramide à base triangulaire) dont trois faces sont perpendiculaires aux axes x, y, z, et dont la quatrième, d'aire dS, a pour normale sortante n = (n_x ; n_y ; n_z).

Étape 1, les aires. Chaque face « d'axe » est la projection de la face inclinée sur un plan de coordonnées. Son aire vaut dS_i = n_i·dS (pour i = x, y, z). C'est le même raisonnement que la tranche de saucisson coupée en biais du cours 1.

Étape 2, l'équilibre. Les faces d'axe ont pour normales sortantes −e_x, −e_y, −e_z (elles « regardent » vers les axes négatifs), donc elles portent −T(e_i) (action-réaction). La somme des forces est nulle :

Étape 3, on simplifie par dS :

Écrit composante par composante, cette somme est exactement un produit « matrice × vecteur », que le chapitre suivant t'apprend à faire à la main :

Multiplier une matrice 3 × 3 par un vecteur (une colonne de 3 nombres) donne un nouveau vecteur de 3 nombres. Pour obtenir chaque composante, on répète la même recette :

Geste 1 : prends une ligne de la matrice et couche-la sur la colonne du vecteur (le 1er nombre de la ligne en face du 1er du vecteur, etc.).
Geste 2 : multiplie les nombres qui se font face.
Geste 3 : additionne les trois produits. Ce total est la composante cherchée.

Ligne 1 → T_x, ligne 2 → T_y, ligne 3 → T_z. C'est tout.

Les ingénieurs écrivent souvent la formule de Cauchy de façon compacte, avec des indices :

i

l'indice de la composante qu'on calcule (donc de la ligne utilisée)

j

l'indice qui « court » le long de la ligne et du vecteur : c'est lui qu'on additionne

Σ

la lettre grecque sigma majuscule, qui signifie « somme de »

En mécanique, on sous-entend souvent le Σ : c'est la convention d'Einstein, qui dit qu'un indice répété dans un produit est automatiquement sommé. On écrit alors simplement T_i = σ_ijn_j. Tu rencontreras souvent cette écriture : tu sais maintenant la lire.

Trois vérifications express à faire à chaque fois

1. n⃗ est-il unitaire ? Calcule n_x² + n_y² + n_z² : ça doit faire 1.

2. Les faces d'axe redonnent-elles les lignes ? Avec n = (1 ; 0 ; 0), tu dois retrouver la première ligne de [σ]. C'est un bon test pour vérifier que tu multiplies dans le bon sens.

3. Les unités : [σ] en MPa et n⃗ sans unité, donc T en MPa.

Tu as T. Tu veux savoir quelle part tire la facette (σ_n) et quelle part la fait glisser (τ).

σₙ, c'est l'ombre. Imagine un bâton incliné (le vecteur T) et un soleil qui éclaire perpendiculairement à la direction n. L'ombre du bâton sur l'axe de n a pour longueur σ_n. Mathématiquement, cette « ombre » s'appelle la projection, et elle se calcule avec un produit scalaire :

τ, c'est le reste. T, sa partie normale et sa partie tangentielle forment un triangle rectangle : T est l'hypoténuse. Pythagore donne donc :

En 3D, cette méthode donne la valeur du cisaillement (toujours positive). Si l'on a besoin de sa direction dans le plan de la facette (c'est le cas pour un cordon de soudure, où l'on distingue τ⊥ et τ∥), on calcule le vecteur τ = T − σ_nn, puis on le projette sur les directions qui nous intéressent.

En état plan, avec n = (cos θ ; sin θ) et la tangente t = (−sin θ ; cos θ) (c'est n tourné de 90° dans le sens trigonométrique, la convention du polycopié), la méthode M-P-P donne :

Avec les formules d'angle double cos²θ = (1 + cos 2θ)/2, sin²θ = (1 − cos 2θ)/2 et 2 sin θ cos θ = sin 2θ, cela devient :

Le point (σ_n ; τ) est donc à la distance R = √(a² + τ_xy²) du point (C ; 0), quel que soit θ : il décrit un cercle de centre C et de rayon R, en tournant de 2θ dans le sens contraire de la facette. C'est le cercle de Mohr, cette fois pour un état plan quelconque. Ce sont exactement les formules de la page 11 du polycopié, écrites là-bas pour les déformations : remplace σ par ε, τ_xy par ε_xy et θ par φ, et tu retrouves ε_n et ε_nt mot pour mot. On en tirera tout au cours 4 : contraintes principales C ± R, cisaillement maximal R.

Dans la pratique, les mêmes formes de matrice reviennent sans cesse. Savoir les reconnaître, c'est gagner un temps fou en examen : on écrit la matrice directement, sans calcul.

Joue avec la manipulation : clique sur un exemple, observe le cube et la matrice, puis bouge les curseurs pour créer tes propres états. Une flèche qui pointe vers la face signale une compression.

Un réservoir cylindrique de rayon moyen R et d'épaisseur e (mince : R/e > 10) contient un gaz à la pression p. On travaille en coordonnées cylindriques : r (radial, vers l'extérieur), θ (circonférentiel, « le tour »), z (axial, le long du cylindre).

Coupe 1 : le long de l'axe (on ouvre le cylindre comme un livre). Sur une longueur L, la pression pousse les deux moitiés l'une contre l'autre avec une force p × 2R × L (pression × surface projetée). Deux bandes de paroi, de section e × L chacune, résistent avec σ_θθ. Équilibre : σ_θθ × 2eL = p × 2RL.

Coupe 2 : perpendiculaire à l'axe (on coupe une rondelle). La pression sur le fond pousse avec p × πR². La paroi résiste sur un anneau de périmètre 2πR et d'épaisseur e : σ_zz × 2πR e = p × πR².

Et le tenseur en coordonnées (r, θ, z) est diagonal : [σ] = diag(0 ; pR/e ; pR/2e). Pour une sphère, les deux directions sont équivalentes : σ = pR/(2e) partout, deux fois moins qu'un cylindre de même rayon. C'est pour ça que les grands stockages de gaz sont sphériques.

L'état triaxial des soudures épaisses

Pendant le refroidissement, le cordon veut se rétracter, mais le métal froid autour l'en empêche : il reste tiré. Dans une tôle mince, il est tiré surtout selon deux directions ; dans une tôle épaisse, selon les trois. Or, quand les trois contraintes principales sont proches et positives, le cisaillement maximal est faible (tu le démontreras au cours 4 avec les trois cercles de Mohr). Le métal ne peut presque plus se déformer plastiquement, puisque la plasticité est pilotée par le cisaillement (cours 1). Il perd sa ductilité apparente, et le risque de rupture fragile augmente. C'est une des raisons d'être du traitement thermique de détensionnement après soudage.

Un cordon d'angle relie deux pièces qui forment un angle (souvent droit), sans chanfrein. En coupe, c'est un triangle.

racine

le sommet de l'angle droit, au fond du coin entre les deux pièces

côté z

la longueur de chaque côté du triangle le long des pièces (on dit aussi « jambe »)

gorge a

la hauteur du triangle issue de la racine : la plus petite épaisseur de métal fondu. Pour un cordon à côtés égaux, a = z/√2 ≈ 0,7 z

L

la longueur efficace du cordon (le long de son axe)

L'idée de la vérification : le cordon cassera là où il est le plus mince, c'est-à-dire à travers la section de gorge, un plan qui passe par la racine, contient l'axe du cordon, et est incliné à 45°. Son aire vaut a × L. C'est une facette, au sens exact de ce cours ! On calcule la force qui la traverse, on la ramène à la surface, et on la décompose :

σ⊥

contrainte normale à la section de gorge (« sigma perpendiculaire »), qui cherche à l'ouvrir

τ⊥

cisaillement dans la section de gorge, perpendiculaire à l'axe du cordon

τ∥

cisaillement dans la section de gorge, parallèle à l'axe du cordon

Une quatrième contrainte, σ∥ (normale et parallèle à l'axe du cordon, dans le cordon lui-même), existe aussi, mais la vérification l'ignore.

L'Eurocode 3 (EC3, ensemble de normes européennes de calcul des structures en acier) traite les assemblages dans sa partie EN 1993-1-8. Pour un cordon d'angle, on suppose les contraintes uniformes sur la section de gorge, puis on vérifie deux conditions :

f_u

résistance à la traction (le Rₘ du cours 1) de la pièce assemblée la plus faible : 360 MPa pour le S235, 430 pour le S275, 490 pour le S355 (épaisseurs ≤ 40 mm)

β_w

« bêta w », facteur de corrélation qui tient compte de la résistance réelle du métal d'apport par rapport au métal de base : 0,80 (S235), 0,85 (S275), 0,90 (S355)

γ_M2

« gamma M2 », coefficient partiel de sécurité des assemblages : 1,25 (valeur recommandée, que l'annexe nationale peut ajuster)

Le facteur 3 devant les cisaillements n'est pas arbitraire : il vient du critère de von Mises (cours 5), qui dit qu'un cisaillement τ est aussi dangereux qu'une traction de √3·τ. Tu verras alors que cette formule est un von Mises simplifié.

Les deux cas d'école

Cordons frontaux (perpendiculaires à l'effort, par exemple aux extrémités d'un plat à recouvrement). La force par unité de longueur f = F/ΣL (ΣL : longueur totale des cordons) arrive à 45° sur la section de gorge. Sa projection sur la normale et sur la gorge vaut f/√2 chacune :

Cordons latéraux (parallèles à l'effort). Tout l'effort file le long du cordon :

La méthode simplifiée

L'EN 1993-1-8 propose aussi une méthode plus rapide et plus prudente : on ignore la direction de l'effort, et on vérifie que la force par unité de longueur reste inférieure à f_vw,d · a, avec f_vw,d = f_u / (√3 β_w γ_M2). Cela revient à traiter tout effort comme s'il était un cisaillement le long du cordon (le cas le plus défavorable).

Pour chaque facette : 0. je vérifie que n⃗ est unitaire (sinon je normalise), 1. je multiplie : T⃗ = [σ]·n⃗, 2. je projette : σₙ = T⃗·n⃗, 3. je Pythagorise : τ = √(|T⃗|² − σₙ²). La manipulation 3 (la machine à multiplier) te permet de vérifier tes résultats.