Avant de commencer
La série 1 en trois cases
(IWE : International Welding Engineer, ingénieur international en soudage.) Pour vérifier un cordon, il faut connaître les efforts qui le traversent : l'effort qui passe dans une attache soudée d'une poutre, le moment qui ouvre un cordon d'angle, le couple que transmet la soudure d'un arbre. Tous se calculent avec le geste de ce cours : couper, isoler, écrire l'équilibre.
Le plan du cours
- 1La poutre et ses hypothèses
Ce qu'est une poutre, et pourquoi le tenseur des contraintes s'y simplifie.
- 2Statique express
Force, moment, torseur, équilibre : tout ce qu'il faut, repris de zéro.
- 3Les liaisons et les réactions
Ce que bloque un appui, et comment calculer ce qu'il exerce.
- 4Le torseur de cohésion
Couper, isoler, équilibrer : les efforts intérieurs d'une section.
- 5Les sollicitations
Les six efforts intérieurs, leurs noms, et les sollicitations composées.
La poutre et ses hypothèses
Un solide long et fin, et ce que cela simplifie
Prends une surface plane, par exemple un disque ou un rectangle : c'est la section droite S. Fais glisser son centre G le long d'une ligne, en gardant la section perpendiculaire à cette ligne. Le volume balayé est une poutre (polycopié, p. 18), et la ligne suivie par G est sa ligne moyenne.
Une poutre est droite si sa ligne moyenne est une droite, plane si elle est contenue dans un plan (avec un chargement dans ce plan), gauche sinon. Pour que la théorie s'applique, la pièce doit être élancée : longue devant les dimensions de sa section, comme un spaghetti. En pratique, on vise une longueur au moins 5 à 10 fois plus grande que la hauteur de la section.
La récompense est énorme : au lieu de chercher une matrice 3 × 3 en chaque point, on cherche seulement, dans chaque section, une contrainte normale σ et un cisaillement τ (p. 19). Les « fibres » de la poutre, parallèles à sa ligne moyenne, sont tirées ou cisaillées, mais ne se poussent pas les unes les autres sur les côtés.
Manipulation 1 : poutre ou pas poutre ?
Règle la longueur et la hauteur de la section. Près des appuis et des charges, sur une longueur de l'ordre de la hauteur de la section, les contraintes sont perturbées (zones hachurées) : c'est le principe de Saint-Venant. La théorie des poutres décrit bien la zone du milieu, qui doit être la plus grande possible.
Le principe de Saint-Venant (Adhémar Barré de Saint-Venant, ingénieur français, 1855). Énoncé précis : loin de la zone où ils sont appliqués, les efforts ne produisent dans la poutre qu'un état de contrainte qui dépend de leur torseur résultant, et non de la façon dont ils sont répartis. Deux boulons ou une soudure qui transmettent le même effort donnent, un peu plus loin, les mêmes contraintes.
Le tenseur simplifié (p. 19). Dans le repère de la poutre, x le long de la ligne moyenne :
sur la section droite (normale x⃗) : T⃗ = σxxx⃗ + σxyy⃗ + σxzz⃗ ; le polycopié note σxy, σxz les cisaillements τxy, τxz
C'est pour cela que les critères du cours 5 prennent, pour une poutre, la forme simple √(σ² + 3τ²) (von Mises) ou √(σ² + 4τ²) (Tresca) : il n'y a que deux inconnues par point.
Statique express
Force, moment, torseur, équilibre
Une force est une action qui pousse ou tire, avec une intensité (en newtons, N), une direction et un point d'application : c'est un vecteur. Mais une force fait aussi tourner. Pour serrer un écrou, tu pousses au bout de la clé, perpendiculairement au manche : l'effet tournant, le moment, vaut la force multipliée par le bras de levier d, la distance entre l'écrou et la ligne d'action de la force :
en N·m (newton-mètre) ; d est mesuré perpendiculairement à la ligne d'action de la force
Si tu pousses dans l'axe du manche, d = 0 : aucun effet tournant, quelle que soit la force. Le moment a un signe : on le compte positif s'il fait tourner dans le sens trigonométrique (le sens inverse des aiguilles d'une montre).
Un torseur est simplement la paire « résultante + moment » qui résume toutes les actions sur un solide : la somme des forces R⃗, et la somme de leurs moments en un point A, M⃗A. On l'écrit {τ} = {R⃗ ; M⃗A}A. Sa résultante ne dépend pas du point ; son moment, si.
L'équilibre (le principe fondamental de la statique, PFS) : un solide immobile a un torseur des actions extérieures nul. En plan, cela donne trois équations : somme des forces horizontales = 0, somme des forces verticales = 0, somme des moments en un point = 0.
Manipulation 2 : la clé et le bras de levier
Une force appliquée au bout d'une clé. Le segment vert est le bras de levier d : la distance de l'écrou A à la ligne d'action (en pointillés). Déplace aussi le point de calcul B le long du manche pour voir le moment changer de valeur.
Le moment par le calcul. Le moment en A d'une force F⃗ appliquée en P est le produit vectoriel M⃗A = AP⃗ ∧ F⃗ (le symbole ∧ se lit « vectoriel »). En plan (x, y), il n'a qu'une composante, selon z :
les deux termes sont chacun « force × bras de levier », avec leur signe
Le transport du moment. Pour passer du point A au point B :
moyen mnémotechnique classique : « BABAR » (MB = MA + BA ∧ R)
En 3D, un torseur a 6 composantes : les trois composantes de R⃗ (notées X, Y, Z dans le tableau des liaisons du polycopié) et les trois de M⃗ (notées L, M, N). L'équilibre donne alors 6 équations.
Les liaisons et les réactions
Ce que bloque un appui, et ce qu'il exerce en retour
Une liaison relie la poutre à son support. Chaque mouvement qu'elle empêche fait apparaître un effort qui le retient, la réaction, inconnue au départ. La règle est simple : une translation bloquée donne une force, une rotation bloquée donne un moment. En problème plan (x, y), les trois liaisons à connaître (tableau de la page 20) :
| Liaison | Ce qu'elle bloque | Inconnues en plan |
|---|---|---|
| Appui simple (sur rouleaux) | le déplacement perpendiculaire au support | 1 force (Y) |
| Articulation (rotule, pivot) | tous les déplacements, pas la rotation | 2 forces (X, Y) |
| Encastrement | tout : déplacements et rotation | 2 forces et 1 moment (X, Y, N) |
Isostatique ou hyperstatique ? En plan, la statique fournit 3 équations. Avec exactement 3 inconnues de liaison, le problème est isostatique : la statique suffit. Avec plus, il est hyperstatique : il manque des équations, qu'on trouvera au cours 9 en écrivant des conditions sur les déformations. Le « degré d'hyperstatisme » est le nombre d'inconnues en trop.
Manipulation 3 : calculer les réactions
Choisis les appuis, place la charge. Les réactions (en orange) se calculent avec les équations d'équilibre, affichées en dessous.
La méthode, pour une poutre sur deux appuis de longueur L, articulée en A, en appui simple en B, chargée par F vers le bas à la distance a de A :
1. Isoler la poutre et dessiner toutes les actions : F, et les réactions inconnues XA, YA, YB.
2. Moments en A (le point où agissent deux inconnues) : YB·L − F·a = 0, donc YB = F·a/L.
3. Forces verticales : YA + YB − F = 0, donc YA = F(L − a)/L.
4. Forces horizontales : XA = 0 (aucune charge horizontale).
5. Vérification : moments en B, −YA·L + F(L − a) = 0 ✅.
Pour une console (encastrée en A, longueur L) chargée à son extrémité : YA = F et un moment d'encastrement MA = F·L. C'est ce moment qui « tient » la poutre à l'horizontale, et c'est là que la poutre est la plus sollicitée.
En 3D, on compte de la même façon avec les colonnes « problème spatial » du tableau (6 équations). Degré d'hyperstatisme = nombre d'inconnues − nombre d'équations indépendantes (en supposant la structure immobile).
Le torseur de cohésion
Couper, isoler, équilibrer
Une poutre en équilibre tient debout parce que, dans chaque section, la matière de gauche et la matière de droite se tiennent l'une l'autre. Pour connaître ces efforts intérieurs, on fait comme au cours 2 avec la facette, mais à l'échelle d'une section entière :
1. Couper la poutre par la pensée à l'abscisse x (la section 𝒮 du polycopié). Elle se sépare en une partie gauche S1 et une partie droite S2.
2. Isoler la partie gauche S1. Elle reçoit ses propres actions extérieures (charges, réactions)… et les efforts que la partie droite exerce sur elle à travers la coupe.
3. Équilibrer : S1 est immobile, donc ces efforts de la droite compensent exactement les actions extérieures sur la gauche.
Ces efforts de la droite sur la gauche forment le torseur de cohésion (polycopié, p. 20) :
on peut donc le calculer à partir de la gauche (avec un signe moins) ou de la droite (avec un signe plus) : choisis le côté où il y a le moins d'efforts
Manipulation 4 : la coupe qui glisse
Une poutre de 4 m sur deux appuis, une charge F et une traction H. Fais glisser la coupe : en bas, la partie isolée avec ses efforts extérieurs (orange) et les efforts intérieurs dans la coupe (N et Mf en rouge, T en violet). Compare en gardant la gauche puis la droite : les valeurs sont les mêmes.
Réduit au centre G de la section (repère x⃗ le long de la poutre, y⃗ vers le haut), le torseur de cohésion a pour composantes, en problème plan :
Ty = −Σ Fy(gauche) = +Σ Fy(droite)
Mfz = −Σ MG,z(gauche) = +Σ MG,z(droite)
Σ : somme ; MG,z : moment au centre G de la section, calculé avec la formule du chapitre 2
Lecture des signes (convention du polycopié) : N > 0 veut dire traction (la droite tire la gauche vers elle). Pour une poutre sur deux appuis chargée vers le bas, Mfz > 0 : la poutre se creuse vers le bas, fibres du bas tendues. C'est cohérent avec la formule σ = −Mfz·y/IGz (cours 9) : pour y < 0 (en bas), σ > 0.
Exemple (manipulation 4, F = 10 kN à a = 1 m, L = 4 m) : YA = 7,5 kN, YB = 2,5 kN. Coupe à x = 2 m, par la gauche : Ty = −(7,5 − 10) = +2,5 kN ; Mfz = 7,5 × 2 − 10 × 1 = 5 kN·m. Par la droite : Ty = +2,5 kN, Mfz = 2,5 × 2 = 5 kN·m ✅.
Les sollicitations élémentaires et composées
Six efforts intérieurs, et les noms qu'on leur donne
En 3D, le torseur de cohésion a une résultante R⃗ et un moment M⃗G. On décompose chacun selon la normale n⃗ à la section (l'axe x de la poutre) et dans le plan de la section (polycopié, p. 21) :
| Composante | Direction | Effet | Contrainte créée |
|---|---|---|---|
| N, effort normal | force selon n⃗ | tire ou comprime | σ = N/S |
| T (Ty, Tz), effort tranchant | force dans la section | fait glisser une section sur sa voisine | τ ≈ T/S (valeur moyenne) |
| Mt, moment de torsion | moment selon n⃗ | tord la poutre autour de son axe | τ = Mt·r/IG |
| Mf (Mfy, Mfz), moment de flexion | moment dans la section | courbe la poutre | σ = −Mfz·y/IGz |
Dans la dernière colonne : S est l'aire de la section ; r la distance au centre de la section ; y la hauteur du point dans la section, mesurée depuis G ; IG le moment polaire de la section (torsion) et IGz son moment quadratique par rapport à l'axe Gz (flexion). Ces deux grandeurs, aux noms très proches, sont définies et comparées au cours 8.
La dernière colonne est le formulaire de base des poutres, que les cours 8 et 9 démontreront. Quand une seule composante est non nulle, la sollicitation est élémentaire et porte son nom : traction (ou compression), cisaillement, torsion, flexion pure. Quand plusieurs coexistent, elle est composée. Les noms à connaître : flexion simple (T + Mf, le cas le plus courant), flexion composée (N + Mf), flexion-torsion (Mt + Mf, les arbres de transmission), flexion déviée (Mfy et Mfz à la fois).
Manipulation 5 : le décodeur de sollicitations
Une console de 2 m, encastrée à gauche. À son extrémité libre, règle les forces Fx, Fy, Fz et les couples Cx, Cz, puis place la coupe. Le décodeur calcule les six efforts intérieurs et nomme la sollicitation.
Pour la console de la manipulation, garder la partie droite est plus simple : elle ne porte que les efforts de l'extrémité, appliqués au point E situé à la distance d = L − x de la coupe. Avec {τ}coh = +{actions sur S2} et M⃗G = GE⃗ ∧ F⃗ + C⃗ :
Mt = Cx Mfy = −d·Fz Mfz = d·Fy + Cz
GE⃗ = (d ; 0 ; 0), et (d ; 0 ; 0) ∧ (Fx ; Fy ; Fz) = (0 ; −d·Fz ; d·Fy)
Piège 1 : l'effort tranchant est rarement seul. Une force transversale crée un T, mais aussi un moment de flexion qui grandit avec la distance. Le « cisaillement pur » n'existe que dans des zones très courtes (axes de chape, rivets, cordons courts), où le bras de levier est négligeable.
Piège 2 : le moment de flexion est maximal loin de la charge. Pour une console, Mf est nul sous la charge et maximal à l'encastrement : c'est là qu'on vérifie la poutre, et que la soudure d'une attache en console est la plus sollicitée.
Une sollicitation composée produit en un même point un σ (par N et Mf) et un τ (par T et Mt). On les combine avec le critère de von Mises, √(σ² + 3τ²) ≤ Rpe, ou de Tresca, √(σ² + 4τ²) ≤ Rpe. C'est la méthode de vérification des arbres en flexion-torsion (cours 10).
Exercices corrigés
Du bras de levier au décodage d'une sollicitation composée
Pour chaque exercice : fais un schéma, dessine toutes les actions (y compris les réactions inconnues), puis écris les équations. Les manipulations 3, 4 et 5 permettent de vérifier tes résultats.
Exercice 1 : le bras de levier N1 · chapitre 2
On serre un écrou avec une clé de 25 cm, en appliquant 200 N au bout du manche.
a) Quel moment si la force est perpendiculaire au manche ?
b) Et si elle fait 60° avec le manche ?
c) Et si elle est dirigée selon le manche ?
Voir la correction
a) M = F·d = 200 × 0,25 = 50 N·m.
b) Le bras de levier devient d = 0,25 × sin 60° = 0,217 m, donc M = 43,3 N·m.
c) La ligne d'action passe par l'écrou : d = 0, donc M = 0. On pousse l'écrou sans le tourner.
Exercice 2 : la poutre sur deux appuis N1 · chapitre 3
Une poutre de 4 m est articulée en A, en appui simple en B, et porte une charge de 10 kN vers le bas à 1 m de A.
a) Combien d'inconnues de liaison ? Le problème est-il isostatique ?
b) Calcule les réactions.
Voir la correction
a) Articulation : 2 ; appui simple : 1 ; total 3 = nombre d'équations : isostatique.
b) Moments en A : YB × 4 − 10 × 1 = 0, donc YB = 2,5 kN. Forces verticales : YA = 10 − 2,5 = 7,5 kN. XA = 0. L'appui le plus proche de la charge en porte le plus.
Exercice 3 : la console N1 · chapitre 3
Une console de 2 m, encastrée en A, porte 5 kN vers le bas à son extrémité libre.
a) Calcule les réactions à l'encastrement.
b) Où la poutre est-elle la plus sollicitée en flexion ?
Voir la correction
a) YA = 5 kN vers le haut, XA = 0, et un moment d'encastrement MA = 5 × 2 = 10 kN·m, dans le sens trigonométrique (il empêche la poutre de piquer vers le bas).
b) À l'encastrement : le moment de flexion y vaut 10 kN·m en valeur absolue, et il décroît jusqu'à 0 sous la charge.
Exercice 4 : le torseur de cohésion, à gauche et à droite N2 · chapitre 4
Poutre de l'exercice 2 (YA = 7,5 kN, YB = 2,5 kN, charge de 10 kN à 1 m de A).
a) Calcule Ty et Mfz pour une coupe à x = 0,5 m.
b) Même question à x = 2 m, par la gauche puis par la droite.
c) Où le moment de flexion est-il maximal, et combien vaut-il ?
Voir la correction
a) Partie gauche : seulement YA. Ty = −7,5 kN ; Mfz = −(−0,5 × 7,5) = 3,75 kN·m.
b) Gauche : YA et la charge. Ty = −(7,5 − 10) = +2,5 kN ; Mfz = 7,5 × 2 − 10 × 1 = 5 kN·m. Droite : seulement YB, à 2 m de la coupe. Ty = +2,5 kN ; Mfz = 2 × 2,5 = 5 kN·m ✅ : même résultat.
c) Mfz croît de 0 (en A) jusqu'à la charge, puis décroît jusqu'à 0 (en B). Maximum sous la charge : Mfmax = 7,5 × 1 = 7,5 kN·m = F·a(L − a)/L. C'est aussi là que Ty change de signe : on le démontrera au cours 7.
Exercice 5 : décoder une sollicitation N2 · chapitre 5
Console de 2 m selon x. À l'extrémité : Fx = 2 kN, Fy = −3 kN, Fz = 0, et un couple Cx = 0,5 kN·m. Coupe à 1,5 m de l'extrémité.
a) Calcule les six efforts intérieurs.
b) Nomme la sollicitation.
c) Quelles contraintes apparaissent dans la section ?
Voir la correction
a) d = 1,5 m : N = 2 kN ; Ty = −3 kN ; Tz = 0 ; Mt = 0,5 kN·m ; Mfy = 0 ; Mfz = 1,5 × (−3) = −4,5 kN·m.
b) Quatre composantes non nulles : traction + flexion simple + torsion, une sollicitation composée.
c) Des contraintes normales σ (par N et Mfz) et des cisaillements τ (par Ty et Mt), à combiner avec un critère du cours 5. Mfz < 0 : ce sont les fibres du haut qui sont tendues, comme dans toute console chargée vers le bas.
Exercice 6 : compter les inconnues N1 · chapitre 3
Pour chaque poutre plane, donne le nombre d'inconnues de liaison et le degré d'hyperstatisme : a) articulation + appui simple ; b) encastrement + appui simple ; c) encastrée aux deux bouts.
Voir la correction
a) 2 + 1 = 3 : isostatique (degré 0).
b) 3 + 1 = 4 : hyperstatique de degré 1.
c) 3 + 3 = 6 : hyperstatique de degré 3. Une poutre soudée à ses deux extrémités est typiquement hyperstatique : sa dilatation thermique empêchée crée des contraintes (cours 3).
Défi : la charge répartie N2 · pour préparer le cours 7
Une poutre de 6 m sur deux appuis porte une charge uniformément répartie p = 2 kN/m sur toute sa longueur. Trouve les réactions, puis Ty(x) et Mfz(x), et le moment maximal.
Voir la correction
Charge totale 12 kN, au milieu : YA = YB = 6 kN. Coupe à x, partie gauche : YA, et la charge répartie sur [0 ; x], de résultante 2x vers le bas, appliquée à x/2. Ty(x) = −(6 − 2x) = 2x − 6 ; Mfz(x) = 6x − 2x·(x/2) = 6x − x². Maximum au milieu (x = 3 m, où Ty = 0) : Mfmax = 18 − 9 = 9 kN·m, soit pL²/8. T est une droite, Mf une parabole : c'est exactement ce que tracent les diagrammes du cours 7.
Quiz : 12 questions éclair
Chaque réponse est expliquée, même quand tu as juste
Fiche mémoire du cours 6
Neuf cases, neuf images : à photographier, puis à redessiner de tête
La poutre
Section S, centre G, ligne moyenne. Dans la section : seulement σ et τ.
Le moment
d : bras de levier, perpendiculaire à la ligne d'action. Positif dans le sens trigonométrique.
Le transport
« BABAR ». Un torseur : {R⃗ ; M⃗A}, la résultante et le moment en un point.
L'équilibre
En plan : 3 équations. Moments au point où agissent le plus d'inconnues.
Les liaisons
Appui simple 1, articulation 2, encastrement 3 inconnues. Plus de 3 : hyperstatique.
La coupe
= −{ext → gauche} = +{ext → droite}. Couper, isoler, équilibrer.
Les composantes
Selon la normale : N et Mt. Dans la section : T et Mf.
Rouge ou violet
N > 0 : traction. Mfz > 0 : fibres du bas tendues.
Élémentaire ou composée
Flexion simple : T + Mf. Composée : N + Mf. Flexion-torsion : Mt + Mf.
Glossaire
Les mots, symboles et sigles de ce cours
- Appui simple
- Liaison qui bloque seulement le déplacement perpendiculaire au support : 1 inconnue en plan.
- Articulation (rotule, pivot)
- Liaison qui bloque les déplacements mais laisse tourner : 2 inconnues en plan.
- Bras de levier d
- Distance entre le point de calcul et la ligne d'action de la force, mesurée perpendiculairement.
- Console
- Poutre encastrée à une extrémité et libre à l'autre.
- Degré d'hyperstatisme
- Nombre d'inconnues de liaison en trop par rapport au nombre d'équations de la statique.
- Effort normal N
- Composante de la résultante de cohésion selon l'axe de la poutre ; N > 0 en traction. Crée σ = N/S.
- Effort tranchant T
- Composante de la résultante de cohésion dans le plan de la section ; fait glisser les sections. Crée un cisaillement τ.
- Encastrement
- Liaison qui bloque tout mouvement : 3 inconnues en plan (2 forces, 1 moment), 6 en 3D.
- Flexion simple, pure, composée, déviée
- Simple : T + Mf. Pure : Mf seul. Composée : N + Mf. Déviée : moments de flexion selon les deux axes de la section.
- Flexion-torsion
- Sollicitation composée Mt + Mf, typique des arbres de transmission.
- Isostatique, hyperstatique
- Isostatique : la statique suffit à trouver les réactions. Hyperstatique : il y a plus d'inconnues que d'équations.
- Ligne moyenne
- Ligne décrite par le centre G des sections droites d'une poutre.
- kN, kN·m
- Kilonewton (1 000 N) et kilonewton-mètre, unités usuelles des efforts et des moments dans les poutres.
- Liaison
- Contact qui relie la poutre à son support en bloquant certains mouvements.
- Moment d'une force
- Effet tournant d'une force autour d'un point : force × bras de levier, en N·m.
- Moment de flexion Mf
- Composante du moment de cohésion dans le plan de la section ; courbe la poutre. Crée σ = −Mfz·y/IGz.
- Moment de torsion Mt
- Composante du moment de cohésion selon l'axe de la poutre ; la tord. Crée τ = Mt·r/IG (section circulaire).
- PFS
- Principe fondamental de la statique : un solide en équilibre a un torseur des actions extérieures nul.
- Poutre (droite, plane, gauche)
- Solide engendré par une section droite dont le centre décrit la ligne moyenne ; droite, plane ou gauche selon la forme de cette ligne.
- Produit vectoriel ∧
- Opération entre deux vecteurs qui donne un vecteur perpendiculaire ; sert à calculer les moments : M⃗A = AP⃗ ∧ F⃗.
- Réaction
- Effort exercé par une liaison sur la poutre, inconnu au départ.
- Saint-Venant (principe de)
- Loin de leur zone d'application, les efforts ne produisent qu'un état de contrainte dépendant de leur torseur résultant.
- Section droite
- Section de la poutre perpendiculaire à sa ligne moyenne.
- Sollicitation élémentaire, composée
- Élémentaire : une seule composante non nulle du torseur de cohésion. Composée : plusieurs.
- Torseur
- Paire {résultante ; moment en un point} qui résume un ensemble d'actions mécaniques.
- Torseur de cohésion {τ}coh
- Action de la partie droite d'une poutre sur sa partie gauche, à travers une section : {S2 → S1}.
- X, Y, Z, L, M, N (liaisons)
- Dans le tableau des liaisons : X, Y, Z sont les forces, L, M, N les moments selon x, y, z. Ce N n'est pas l'effort normal.
Check-list : suis-je prêt pour le cours 7 ?
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