Comment la matière change de forme

Quand une pièce se charge, chacun de ses points bouge un peu. Le point qui était en P₀ arrive en P. La flèche qui va de P₀ à P est le vecteur déplacement (polycopié, p. 3) :

L'ensemble des flèches de tous les points s'appelle le champ de déplacement. Pense à une nuée d'oiseaux : chaque oiseau a sa propre flèche de mouvement. Trois cas se présentent, exactement ceux de la figure de la page 3 du polycopié :

Translation : toutes les flèches sont identiques. La nuée glisse en bloc, sa forme ne change pas.
Rotation : les flèches tournent autour d'un centre et grandissent avec la distance. La nuée pivote, sa forme ne change toujours pas.
Déformation : les flèches diffèrent de façon à changer les distances entre oiseaux ou les angles entre leurs directions. Là, la forme change.

Translation et rotation sont des mouvements de corps rigide : ils ne créent aucune contrainte (ils relèvent de la mécanique générale). La RDM ne s'intéresse qu'au troisième cas. La manipulation te fait vérifier le critère : on mesure deux segments et l'angle entre eux.

Regarde la translation : les flèches sont énormes, mais identiques d'un point à son voisin, et rien ne se déforme. La déformation ne dépend donc pas de la taille des flèches, mais de la façon dont elles changent d'un point à son voisin. Au cours 1 (niveau 2), tu l'avais vu en 1D : ε = du/dx, la variation du déplacement par millimètre de longueur.

En 2D, u et v peuvent varier quand on se décale selon x ou selon y. Cela fait quatre variations possibles, qu'on range dans un tableau : le gradient du déplacement.

Ce gradient suffit à décrire comment un tout petit segment dX (avant) devient dx (après) : dx = dX + Grad u·dX (Grad avec une majuscule : on dérive par rapport à la position initiale, voir ci-dessous). En factorisant, on obtient le tenseur gradient de transformation 𝔽 du polycopié (p. 9) :

𝔽

gradient de transformation : la « machine » qui transforme les petits segments de la pièce. 𝔽 = 𝕀 veut dire « rien ne bouge localement ». Le polycopié signale qu'on le trouve aussi écrit F, F avec deux barres, ou F_ij (écriture indicielle)

Grad, grad

Grad (majuscule) dérive par rapport à la position initiale X, grad (minuscule) par rapport à la position actuelle x. En HPP (chapitre 3), les deux sont égaux, comme l'indique la remarque de la page 10 du polycopié

Exemples. Translation : u et v sont constants, toutes les dérivées sont nulles, 𝔽 = 𝕀. Étirement de 40 % selon x : u = 0,4x, donc ∂u/∂x = 0,4 et 𝔽 = diag(1,4 ; 1), où diag(a ; b) désigne la matrice qui a a et b sur sa diagonale et des zéros ailleurs. Rotation d'angle α : 𝔽 est la matrice de rotation, ses termes valent cos α et ± sin α. La manipulation affiche ce gradient pour chaque mouvement.

Une porte qui tourne sur ses gonds bouge beaucoup, mais elle ne se tord pas. Le gradient du déplacement mélange ces deux choses : la vraie déformation (qui change longueurs et angles, et crée des contraintes) et la rotation (qui ne fait que faire pivoter, sans aucun effet sur la matière). On les sépare toujours de la même façon :

Appliqué case par case, cela donne :

Et voici l'origine du fameux piège du cours 1. Quand un angle droit se referme, chacun de ses deux côtés penche : l'un de ∂u/∂y, l'autre de ∂v/∂x. L'angle perdu, la distorsion, est la somme des deux :

La partie antisymétrique ω = ½(grad u − grad u^t) n'a qu'un seul nombre utile en 2D : l'angle de rotation locale ω_z = ½(∂v/∂x − ∂u/∂y) (en radians, positif dans le sens trigonométrique). Il ne crée aucune contrainte.

En 3D, on obtient le tenseur complet de la page 10 du polycopié, symétrique par construction, donc avec 6 composantes indépendantes :

Conséquence pour la loi de Hooke (cours 5). Puisque τ = Gγ (cours 1) et γ = 2ε_xy, on a σ_xy = 2Gε_xy (σ_xy est la notation du polycopié pour le cisaillement τ_xy). C'est exactement le « 2μ » de la loi de Lamé de la page 13 du polycopié (σ = 2μℇ + λ trace(ℇ)𝕀), où λ et μ (« lambda » et « mu ») sont les deux coefficients de Lamé du matériau, avec μ = G, et où trace(ℇ) est la somme de la diagonale de ℇ (cours 1). Le cours 5 détaille cette loi. Le 2 n'est pas mystérieux : il répare le γ/2.

Il existe deux tenseurs des déformations dans le polycopié (p. 9). Ils répondent à la même question (« de combien les longueurs et les angles ont-ils changé ? ») avec plus ou moins de précision.

Le tenseur de Green-Lagrange 𝔼, la mesure exacte. Il compare les longueurs au carré avant et après. Or une rotation ne change aucune longueur : pour une cabine de grande roue qui tourne sans se déformer, 𝔼 vaut exactement zéro, quel que soit l'angle de rotation.

Le tenseur des petites déformations ℇ, la mesure simplifiée. Si tous les termes du gradient sont petits (quelques millièmes), leur produit est encore mille fois plus petit : on le jette. On retrouve le ℇ = ½(grad u + grad u^t) du chapitre 2. C'est l'hypothèse des petites perturbations (HPP) du polycopié.

Le piège : « gradients petits » ne veut pas seulement dire « petites déformations ». Une rotation, même sans aucune déformation, donne des termes de gradient de l'ordre de l'angle (sin α, cos α − 1). Si la pièce tourne trop, le tenseur simplifié invente une déformation qui n'existe pas. La manipulation le montre sur une rotation pure.

D'où vient 𝔼. Un petit segment dX devient dx = 𝔽 dX. Sa longueur au carré vaut dx^tdx = dX^t𝔽^t𝔽 dX. La variation des longueurs au carré s'écrit donc |dx|² − |dX|² = 2 dX^t 𝔼 dX : 𝔼 mesure exactement cette variation. En remplaçant 𝔽 par 𝕀 + H (H = Grad u), on obtient 𝔽^t𝔽 − 𝕀 = H + H^t + H^tH.

Le calcul de la rotation pure. Pour une rotation d'angle α, H = cos α − 1−sin αsin αcos α − 1. Le tenseur simplifié donne ε_x = ε_y = cos α − 1 ≈ −α²/2 : une fausse compression. Le terme H^tH vaut exactement l'opposé, et 𝔼 = 0.

L'ordre de grandeur qui fait réfléchir. Pour α = 5°, la fausse déformation vaut cos 5° − 1 = −0,0038, soit −3 800 µε. Or l'acier de construction S235 atteint sa limite d'élasticité vers Rₑ/E = 235/210 000 = 1 120 µε. L'erreur est plus de trois fois la déformation élastique maximale de l'acier. Pour qu'elle reste sous 10 % de cette valeur, il faut une rotation inférieure à environ 0,9°.

Bonne nouvelle : tout ce que tu as appris sur [σ] au cours 2 se transpose tel quel à ε. Imagine une aiguille de boussole posée sur la pièce, orientée selon n (angle φ avec l'axe x). Deux questions :

1. De combien l'aiguille s'allonge-t-elle ? C'est ε_n, l'allongement relatif dans la direction n⃗. Il se calcule avec les deux premiers gestes de la méthode M-P-P : multiplier (ε·n) puis projeter sur n.
2. De combien l'angle droit entre n⃗ et sa perpendiculaire t⃗ se referme-t-il ? C'est ε_nt, le demi-glissement (encore le γ/2).

En 2D, cela donne les deux formules de la page 11 du polycopié, à connaître par cœur :

Les déformations principales sont les allongements dans les deux directions où ε_nt = 0 (aucun angle droit ne se referme). On les trouve avec :

Piège 1 : tan(2φ) a deux solutions

L'équation tan(2φ) = 2ε_xy/(ε_x − ε_y) donne deux directions à 90° l'une de l'autre, sans dire laquelle est I (la plus grande). Deux façons de trancher : remplacer φ dans la formule de ε_n et regarder laquelle donne C + R ; ou retenir la règle « si ε_x > ε_y, l'angle calculé entre −45° et +45° est la direction I ». Sur un logiciel (Python, Excel), la fonction atan2, une arc tangente à deux arguments qui tient compte de leurs signes, tranche automatiquement : φ_I = ½·atan2(2ε_xy, ε_x − ε_y). Attention, Excel inverse l'ordre des deux arguments.

Piège 2 : le glissement maximal vaut 2R, pas R

Le point le plus haut du cercle donne ε_{nt, max} = R, qui est un demi-glissement. La distorsion maximale est donc γ_max = 2R = ε_I − ε_II. Encore le facteur 2.

Déformation plane et contrainte plane : ne pas confondre

Dans les deux cas, z est une direction principale et les formules de ε_n, ε_nt et le cercle dans le plan xy restent identiques. Seule la troisième déformation principale diffère : nulle en déformation plane, non nulle en contrainte plane.

En 3D : trois cercles

Dans la base principale, ε est diagonale : diag(ε_I ; ε_II ; ε_III) (p. 10 du polycopié). On trace alors trois cercles, chacun construit sur deux des trois valeurs principales : c'est le tricercle de Mohr de la page 11, que le cours 4 construit pas à pas pour les contraintes. Une remarque sur le polycopié : à la page 10, il nomme « III » la direction z par convention, ce qui ne veut pas forcément dire que ε_zz est la plus petite des trois.

Chauffe une barre de ΔT degrés (ΔT, « delta T », est l'écart de température) : elle s'allonge dans toutes les directions du même pourcentage, sans aucun glissement. C'est la déformation thermique :

α

« alpha », coefficient de dilatation thermique, en K⁻¹ (par kelvin, soit par degré d'écart). Ordres de grandeur : acier au carbone ≈ 12 × 10⁻⁶, acier inoxydable austénitique ≈ 16 à 17 × 10⁻⁶, aluminium ≈ 23 × 10⁻⁶

Barre libre : elle s'allonge tranquillement et aucune contrainte n'apparaît. Un rail de 100 m chauffé de 40 °C s'allonge de 12 × 10⁻⁶ × 40 × 100 000 mm ≈ 48 mm.

Barre bridée entre deux murs immobiles : elle voudrait s'allonger mais ne peut pas. Les murs la compriment exactement de quoi annuler sa dilatation :

C'est le rail qui se déforme en été quand sa dilatation est empêchée, et c'est surtout le cordon de soudure : le métal chauffé à plus de 1 000 °C est entouré de métal froid qui l'empêche de se dilater. C'est une barre bridée. La manipulation te fait vivre un cycle complet de chauffe puis de refroidissement.

① Chauffe élastique : la barre bridée se met en compression, 2,5 MPa par degré.
② Plastification en compression : vers 93 °C, la compression atteint Rₑ. Au-delà, la barre ne peut plus pousser plus fort : elle se raccourcit définitivement (déformation plastique) pour s'adapter.
③ Refroidissement : la barre, devenue « trop courte », veut se rétracter encore plus en refroidissant. Les murs la retiennent : la compression disparaît, puis elle passe en traction.
④ Fin du cycle : si l'échauffement a dépassé environ 190 °C, la traction atteint Rₑ avant la fin du refroidissement. La barre finit tirée à +Rₑ, alors qu'elle est revenue à sa température de départ.

La déformation totale mesurée est la somme de morceaux d'origines différentes, et seule la partie élastique crée des contraintes :

Le calcul du cycle. Barre bridée : ε = 0. À la chauffe, σ = −EαΔT jusqu'à −Rₑ, atteint pour ΔT₁ = Rₑ/(Eα) = 235/2,52 ≈ 93 °C. Au-delà, σ reste à −Rₑ et la déformation plastique vaut ε_p = −αΔT + Rₑ/E. Au sommet ΔT_max, elle est figée. Au refroidissement : σ = Eα(ΔT_max − ΔT) − Rₑ. À la fin (ΔT = 0) : σ_résiduelle = min(EαΔT_max − Rₑ ; Rₑ), qui vaut +Rₑ dès que ΔT_max ≥ 2Rₑ/(Eα) ≈ 187 °C.

En 3D, la loi de Hooke du polycopié (p. 13) s'écrit en ajoutant simplement la dilatation : ℇ = 1 + νEσ − νE trace(σ)𝕀 + αΔT·𝕀. Le cours 5 détaille cette loi.

Une jauge de déformation est un fil métallique très fin, replié en zigzag sur un film plastique, qu'on colle sur la pièce. Quand la pièce s'allonge sous la jauge, le fil s'allonge et s'amincit : sa résistance électrique augmente, proportionnellement à la déformation :

Cette variation est minuscule (0,2 % pour 1 000 µε) : on la mesure avec un montage électrique de quatre résistances appelé pont de Wheatstone.

Une jauge ne mesure que l'allongement dans sa propre direction : c'est l'aiguille de la boussole du chapitre 4, en vrai. Or un état plan demande 3 nombres (ε_x, ε_y, ε_xy). Il faut donc trois jauges dans trois directions différentes, collées au même endroit : une rosette. La plus courante est la rosette « à 45° », avec des jauges à 0°, 45° et 90°.

La formule de ε_n du polycopié donne directement, pour φ = 0°, 45° et 90° :

Dernière étape : passer aux contraintes. Une jauge est collée sur une surface libre, donc en contrainte plane (remarque de la page 12 du polycopié). La loi de Hooke dans ce cas (démontrée au cours 5) donne :

D'où vient la formule de ε_xy. À φ = 45°, cos 2φ = 0 et sin 2φ = 1 : la formule du polycopié devient ε₄₅ = (ε_x + ε_y)/2 + ε_xy. On isole ε_xy, et on remplace ε_x et ε_y par les lectures à 0° et 90°.

Le piège de la troisième direction. En contrainte plane, σ_zz = 0 mais la pièce s'amincit sous la jauge (effet Poisson) : ε_zz = −ν1 − ν(ε_x + ε_y), non nul. Si tu utilisais les hypothèses de la déformation plane (ε_zz = 0), tu te tromperais sur les contraintes. Les formules de ε_n et le cercle dans le plan, eux, restent justes.

Vérification rapide. En traction simple σ selon x : ε₀ = σ/E, ε₉₀ = −νσ/E, et ε₄₅ = (1 − ν)σ/(2E). Pour σ = 100 MPa et l'acier, cela donne 476, −143 et 167 µε : c'est le premier exemple de la manipulation.

Essaie chaque question de tête 2 à 3 minutes. Si tu bloques, regarde d'abord la fiche mémoire en bas de page, puis le chapitre. Marque d'un ↺ ce que tu as dû chercher, et refais ces points à froid plus tard. Les manipulations 4 et 6 te permettent de vérifier les exercices 3 et 6.