Avant de commencer
Une confusion fréquente, à lever dès le départ
On entend souvent « matrice des déformations » et « tenseur des contraintes » comme s'il s'agissait d'une seule et même chose. C'est la confusion numéro 1, et elle est parfaitement normale quand on débute : ce ne sont pas deux noms pour la même chose. Il existe deux matrices différentes, qui décrivent deux réalités différentes, et l'essentiel du travail en RDM consiste à passer de l'une à l'autre.
unité : MPa
avec E et ν
sans unité
La loi de Hooke joue le rôle d'un dictionnaire qui traduit l'une dans l'autre, grâce aux constantes du matériau. Tout le cours 1 sert à comprendre chaque morceau de ce schéma en version simple (une seule direction), avant de passer aux matrices complètes.
Au passage, le célèbre cercle de Mohr doit son nom à l'ingénieur allemand Christian Otto Mohr (1882). Retiens bien l'orthographe : elle est utile pour chercher des exercices corrigés.
Le parcours complet
La série avance en 5 cours, chacun s'appuyant sur le précédent, pour environ 13 h 30 de travail au total, exercices compris. Ne saute pas celui-ci, même s'il paraît « facile » : chaque case des matrices des cours suivants est une des notions d'aujourd'hui.
- 1Les fondations ≈ 2 h 30, tu es ici
σ, ε, E, ν, τ, γ, G, et la facette qui tourne. On termine en écrivant les deux premières matrices.
- 2Le tenseur des contraintes ≈ 2 h 30
Lire et écrire [σ], calculer la contrainte sur n'importe quelle facette avec T⃗ = [σ]·n⃗.
- 3Le tenseur des déformations ≈ 2 h 30
Construire [ε], le piège du « ½ », mesurer les déformations avec des jauges et des rosettes.
- 4Directions principales et cercle de Mohr ≈ 3 h
Tourner les axes, trouver les contraintes maximales, tracer et exploiter le cercle.
- 5Hooke généralisée et critères de résistance ≈ 3 h
Passer de [σ] à [ε] et inversement, critères de Tresca et de von Mises, sujets types d'examen.
Comment lire ce cours
Chaque chapitre est construit de la même façon, pour que ton cerveau sache où regarder :
Des images, des analogies, presque pas de formules. Si tu ne lis que les niveaux 1, tu comprends la RDM.
Les définitions précises, les démonstrations et les réflexes attendus à l'examen. Avec les niveaux 2, tu sais faire.
Entre les deux, une manipulation : une animation que tu pilotes avec des curseurs. Ne la survole pas, joue avec pendant une minute ou deux : c'est là que l'image se grave. Et chaque chapitre a une image à retenir (en haut à droite de son cartouche) : ferme les yeux cinq secondes et « photographie-la ». Tu les retrouveras toutes alignées dans la fiche mémoire finale, comme les salles d'un musée que tu pourras revisiter de tête le jour de l'examen.
À quoi sert la RDM ?
Deux questions à se poser devant n'importe quelle pièce
RDM signifie Résistance Des Matériaux. C'est la discipline qui permet de répondre, avant de fabriquer une pièce, à deux questions :
1. Est-ce que ça va casser ? Pour y répondre, on calcule la contrainte : la « souffrance » de la matière.
2. Est-ce que ça va trop se déformer ? Pour y répondre, on calcule la déformation.
Ces deux questions sont vraiment différentes. Pense à une étagère chargée de livres : elle peut très bien ne pas casser, mais plier au point que les livres glissent. Elle résiste, mais elle n'est pas assez rigide. À l'inverse, un verre ne se déforme presque pas… puis casse d'un coup. Un bon ingénieur vérifie toujours les deux.
La RDM « classique » (celle des cours d'initiation) repose sur cinq hypothèses. À l'examen, quand l'énoncé dit « matériau homogène et isotrope, élastique linéaire, sous HPP », il te dit exactement que ce cadre s'applique.
| Hypothèse | Ce que ça veut dire | Contre-exemple |
|---|---|---|
| Continu | La matière n'a pas de trous : on peut zoomer indéfiniment sur un point (on oublie les atomes). | Une mousse, un tas de sable. |
| Homogène | Mêmes propriétés en tout point de la pièce. | Une soudure, un béton armé. |
| Isotrope | Mêmes propriétés dans toutes les directions. | Le bois, bien plus solide dans le sens des fibres ; les composites. |
| Élastique linéaire | La déformation est proportionnelle à l'effort, et tout revient à zéro quand on relâche (chapitre 3). | Un métal au-delà de sa limite élastique. |
| HPP | Hypothèse des Petites Perturbations : déformations et déplacements minuscules, donc on calcule sur la forme initiale de la pièce. | Un élastique très étiré, une tôle emboutie. |
Pour les métaux dans le domaine élastique, les déformations sont de l'ordre de 0,1 % : un fil d'acier d'un mètre s'allonge d'environ un millimètre avant de risquer quoi que ce soit. C'est pour ça que toutes les animations de ce cours exagèrent les déformations : sinon tu ne verrais rien bouger.
La contrainte σ
La force ressentie par chaque millimètre carré de matière
Un fakir s'allonge sur un lit de 1 000 clous : il est parfaitement tranquille. Sur un seul clou, il serait transpercé. Pourtant son poids, la force, est exactement le même dans les deux cas ! Ce qui change, c'est la surface sur laquelle cette force se répartit : sur 1 000 clous, chaque clou ne porte qu'un millième du poids.
La matière, c'est pareil. Ce qui la fait « souffrir », ce n'est pas la force totale : c'est la force que doit porter chaque petit morceau de surface. Cette force par unité de surface s'appelle la contrainte.
la contrainte normale = la force divisée par l'aire qui la supporte
- σ
- « sigma », la lettre grecque qui correspond à notre « s ». C'est la contrainte normale. Unité : le mégapascal (MPa).
- F
- La force, en newtons (N). Pour te faire une idée : un objet de 1 kg pèse environ 10 N, et 1 kN (kilonewton) = 1 000 N, soit à peu près le poids de 100 kg.
- S
- L'aire de la section droite, en mm². Pour une barre ronde de diamètre d : S = π·d²/4, avec π (« pi ») ≈ 3,14.
Quelques ordres de grandeur pour étalonner ton intuition : la pression de l'air qui t'entoure ≈ 0,1 MPa ; un talon aiguille qui porte 60 kg sur 1 cm² ≈ 6 MPa ; un acier de construction courant (S235) commence à se déformer définitivement vers 235 MPa ; un câble d'acier haute résistance supporte plus de 1 500 MPa.
Manipulation 1 : le lit de clous de la matière
Une tige ronde en acier S235 est tirée par une force F. À droite, la section vue de face : chaque point représente un petit carré de matière, et sa taille montre la force qu'il porte.
À essayer : garde F fixe et double le diamètre (de 20 à 40 mm). La contrainte est divisée par 4, pas par 2, parce que l'aire varie comme le carré du diamètre.
La méthode des coupures
La contrainte est à l'intérieur de la matière : on ne peut pas la voir. Pour la faire apparaître, on coupe la pièce par la pensée. La partie qu'on enlève exerçait des efforts sur celle qu'on garde : on les remplace par des forces réparties sur la surface de coupe. Ces efforts cachés s'appellent les efforts intérieurs (ou efforts de cohésion : ce qui fait que la matière « tient ensemble »).
La contrainte est la densité de ces efforts : la force élémentaire dF qui agit sur un tout petit morceau de surface dS :
le « d » se lit « un tout petit morceau de »
La formule σ = F/S suppose que la force est répartie uniformément sur la section. C'est vrai loin des endroits où l'on applique l'effort : c'est le principe de Saint-Venant. Il dit qu'à une distance de l'ordre de la largeur de la pièce, la façon exacte dont on tire (crochet, mors, soudure…) n'a plus d'importance, seule compte la force totale.
Convention de signe
σ > 0 en traction (la matière est tirée), σ < 0 en compression (elle est écrasée). Cette convention sera la même dans les matrices.
Le vecteur contrainte : ce qu'il faut garder en tête pour la suite
En réalité, sur une surface, la force par unité de surface est une flèche qui peut être inclinée. On l'appelle le vecteur contrainte, noté T. La petite flèche au-dessus de la lettre indique un vecteur : une grandeur qui a une valeur et une direction. Ici, la force est perpendiculaire à la coupe, donc T est « tout normal » : il se réduit à σ. Au chapitre 6, on coupera en biais : T se penchera et se décomposera en deux morceaux, σ (normal) et τ (parallèle à la surface). C'est la porte d'entrée vers les matrices.
La déformation ε
De combien, en pourcentage, la matière s'étire
Prends deux élastiques : un de 10 cm et un de 1 m. Étire chacun de 1 cm. Lequel est le plus tendu ? Le petit, évidemment : il a gagné 10 % de sa longueur, le grand seulement 1 %. L'allongement en centimètres ne suffit donc pas à décrire l'état de la matière : il faut un allongement relatif, rapporté à la longueur de départ.
la déformation = l'allongement divisé par la longueur initiale
- ε
- « epsilon », le « e » grec : pense Étirement. C'est la déformation (on dit aussi allongement relatif ou allongement unitaire).
- L₀
- La longueur initiale (le petit 0 veut dire « au départ »).
- ΔL
- « delta L », l'allongement : ΔL = L − L₀. La lettre Δ (delta majuscule) signifie toujours « variation de » : valeur finale moins valeur initiale.
ε n'a pas d'unité (des mm divisés par des mm). On l'exprime en %, ou en microdéformations notées µε (« micro-epsilon ») : 1 µε = 10⁻⁶, un millionième, soit 1 µm d'allongement par mètre. Exemple : ε = 0,001 = 0,1 % = 1 000 µε, c'est 1 mm d'allongement par mètre de barre.
La propriété qui rend ε si utile : dans une barre uniforme, chaque petit tronçon s'allonge du même pourcentage. La déformation est donc une propriété locale, valable en chaque point de la matière. C'est exactement ce qui permettra, au cours 3, de la ranger dans une matrice « en un point ».
Manipulation 2 : les deux élastiques
Barre A (100 mm) et barre B (200 mm), avec un quadrillage tous les 10 mm. Regarde les carreaux : ce sont eux qui « ressentent » la déformation.
Déplacement et déformation : deux choses différentes
On note u(x) le déplacement du point qui se trouvait à l'abscisse x (sa position le long de la barre) : de combien il a bougé. Si toute la barre glisse de 5 mm sans s'étirer, tous ses points ont u = 5 mm : gros déplacement, zéro déformation (c'est le troisième mode de la manipulation). Ce qui déforme la matière, c'est quand deux points voisins ne bougent pas de la même quantité.
la dérivée du déplacement : de combien le déplacement change quand on avance d'un tout petit pas dx le long de la barre
Vérification sur la barre uniforme fixée à gauche : le point à l'abscisse x bouge de u(x) = ε·x (proportionnellement à sa distance au bout fixe). L'extrémité, à x = L₀, bouge de u = ΔL. Donc ε = du/dx = ΔL/L₀ : les deux définitions coïncident.
Signe et ordre de grandeur
ε > 0 : allongement ; ε < 0 : raccourcissement. Dans le domaine élastique des métaux, ε reste de l'ordre de 0,1 % (1 000 µε), totalement invisible à l'œil. C'est l'hypothèse HPP du chapitre 0, et c'est pourquoi on mesure les déformations avec des jauges (de petits fils collés sur la pièce dont la résistance électrique change quand ils s'étirent ; on les verra au cours 3).
La loi de Hooke et le module d'Young E
La matière est un ressort… tant qu'on ne force pas trop
Accroche un poids à un ressort : il s'allonge. Accroches-en deux : il s'allonge deux fois plus. C'est la loi de Hooke, énoncée par Robert Hooke en 1678 sous la forme d'une devinette latine : ut tensio, sic vis, « telle extension, telle force ».
La surprise, c'est qu'une barre d'acier se comporte exactement comme un ressort très raide, tant que l'effort reste raisonnable. Pourquoi ? Zoome jusqu'aux atomes : ils sont reliés par des liaisons qui se comportent comme de minuscules ressorts. Tirer sur la barre, c'est étirer des milliards de ces ressorts en même temps.
la contrainte est proportionnelle à la déformation (loi de Hooke)
- E
- Le module d'Young (Thomas Young, 1807), aussi appelé module d'élasticité longitudinale. Comme ε n'a pas d'unité, E a la même unité que σ : on le donne en GPa (gigapascals ; 1 GPa = 1 000 MPa).
E mesure la rigidité du matériau : plus E est grand, plus il faut forcer pour obtenir la même déformation. Attention, rigide ne veut pas dire résistant : le verre est aussi rigide que l'aluminium (même E), mais il casse bien plus facilement.
| Matériau | E (GPa) | Rigidité comparée |
|---|---|---|
| Acier | 210 | |
| Cuivre | 120 | |
| Titane | 110 | |
| Fonte grise | ≈ 100 | |
| Aluminium | 70 | |
| Verre | 70 | |
| Béton | ≈ 30 | |
| Os | ≈ 17 | |
| Bois (dans le sens des fibres) | ≈ 10 | |
| Caoutchouc | 0,001 à 0,01 | invisible à cette échelle ! |
L'essai de traction est l'expérience fondatrice de la RDM. On tire lentement sur une éprouvette (un barreau aux dimensions normalisées) jusqu'à ce qu'elle casse, en enregistrant σ et ε à chaque instant. La courbe obtenue est la carte d'identité mécanique du matériau. Lance l'essai ci-dessous, puis teste le bouton « Relâcher » à différents moments : c'est le geste le plus instructif de tout le chapitre.
Manipulation 3 : l'essai de traction
Courbe schématique : l'échelle des ε est dilatée au début pour qu'on voie la zone élastique (en vrai, elle ne représente que 0,1 à 0,3 % de déformation).
1. La rampe : zone élastique. σ = E·ε, droite parfaite. Si on relâche, tout revient à zéro. La pente de cette droite, c'est E.
2. Le virage : la limite d'élasticité Re (R pour résistance, e pour élastique). C'est la fin de la rampe. Au-delà, les dégâts sont permanents.
3. La montée de la colline : zone plastique. La matière se déforme durablement. Si on relâche, on redescend parallèlement à la rampe : on récupère la partie élastique, pas le reste. En même temps, le métal durcit : c'est l'écrouissage.
4. Le sommet : la résistance maximale à la traction Rm (m pour maximale). C'est la plus grande contrainte que l'éprouvette supporte.
5. La chute : la striction. Un « cou » se forme à un endroit de l'éprouvette et s'amincit très vite ; l'effort nécessaire diminue.
6. La rupture. L'allongement final, en %, s'appelle A % (allongement à la rupture) : il mesure la capacité du matériau à se déformer avant de casser.
De Hooke à la raideur d'une barre
Pars de σ = E·ε et remplace chaque terme par sa définition :
une barre en traction est un ressort de raideur k = E·S / L₀
C'est la loi du ressort F = k·ΔL, avec une raideur k = E·S/L₀ en N/mm. La raideur d'une barre dépend donc du matériau (E) et de la géométrie (S et L₀) : une barre deux fois plus longue est deux fois plus souple, une barre de section double est deux fois plus raide. On en tire la formule la plus utilisée en traction :
Mesurer E sur la courbe
E est la pente de la partie droite : E = Δσ / Δε. Prends deux points de la rampe, fais « différence des σ divisée par différence des ε ».
La limite conventionnelle Rp0,2
Certains matériaux, comme l'aluminium ou les aciers inoxydables, n'ont pas de « virage » net (compare l'acier et l'alu dans la manipulation). On définit alors une limite conventionnelle Rp0,2 : la contrainte qui laisse 0,2 % de déformation permanente après relâchement. Graphiquement, on trace une parallèle à la rampe élastique décalée de 0,2 % vers la droite, et on lit où elle coupe la courbe.
Condition de résistance et coefficient de sécurité
On ne dimensionne jamais une pièce pile à Re : on garde une marge, le coefficient de sécurité s (souvent entre 1,5 et 3, imposé par le cahier des charges ou les normes). On définit la résistance pratique à l'extension :
Exemple : acier S235 avec s = 2 donne Rpe = 117,5 MPa. On vérifie aussi, si besoin, une condition de rigidité : ΔL ≤ ΔLadmissible (la pièce ne doit pas trop s'allonger pour fonctionner).
Le coefficient de Poisson ν
Quand on tire dessus, la matière maigrit
Étire un élastique large ou un chewing-gum : il s'allonge… et devient plus fin. Ce n'est pas un détail : toute matière fait ça. Une déformation dans le sens de la traction s'accompagne d'une contraction dans les directions perpendiculaires.
Le nom vient de Siméon Denis Poisson, mathématicien français (1781-1840). Aucun rapport avec les poissons, mais l'image aide : tire un poisson par la queue, il devient une anguille 🐟 → 🐍.
la déformation transversale est proportionnelle à la déformation longitudinale, avec le signe opposé
- εℓ
- La déformation longitudinale (ℓ), dans le sens de l'effort.
- εt
- La déformation transversale (t), perpendiculaire à l'effort. Pour une barre ronde : εt = Δd/d (variation de diamètre divisée par le diamètre).
- ν
- « nu », le « n » grec : le coefficient de Poisson. Sans unité.
- −
- Le signe moins traduit le fait que l'un grandit quand l'autre diminue. Comme ν est positif pour presque tous les matériaux, εt est de signe opposé à εℓ.
| Matériau | ν | À retenir |
|---|---|---|
| Acier | 0,30 | La valeur à connaître par cœur. |
| Aluminium, cuivre | 0,33 à 0,34 | Proche de l'acier. |
| Fonte, verre | 0,22 à 0,26 | |
| Béton | ≈ 0,2 | |
| Caoutchouc | ≈ 0,5 | Le volume ne change pas : on dit qu'il est incompressible. |
| Liège | ≈ 0 | Il ne gonfle pas sur les côtés quand on l'écrase. |
| Matériaux auxétiques | < 0 | Ils s'épaississent quand on les tire ! |
Pourquoi les bouchons sont en liège : avec ν ≈ 0, quand tu enfonces le bouchon, il se raccourcit sans gonfler sur les côtés, donc il rentre dans le goulot. Un bouchon en caoutchouc (ν ≈ 0,5) gonflerait latéralement en l'enfonçant et se coincerait.
Manipulation 4 : le poisson qui devient anguille
Un bloc tiré dans le sens de sa longueur (déformation très exagérée). En pointillés : la forme de départ.
En trois dimensions
Pour une traction σ selon l'axe x, la barre s'allonge selon x et se contracte dans les deux autres directions, y et z :
retiens ce trio : c'est déjà la diagonale d'une matrice des déformations
La variation de volume
Un bloc de dimensions L × b × h a un volume V = L·b·h. Après déformation, chaque dimension est multipliée par (1 + sa déformation) :
V′ = L(1 + εx) · b(1 + εy) · h(1 + εz)
En développant, on obtient des termes comme εx·εy. Sous HPP, ces produits sont négligeables (0,001 × 0,001 = 0,000 001, mille fois plus petit). Il reste :
la variation relative de volume = la somme des trois déformations
Pourquoi ν ne dépasse jamais 0,5
On définit le module de compressibilité K = E / [3(1 − 2ν)] : il mesure la résistance d'un matériau à un changement de volume quand on l'écrase de tous les côtés (comme au fond de la mer). La physique impose K > 0 : sinon, comprimer la matière de partout la ferait gonfler, ce qui est absurde. Il faut donc 1 − 2ν > 0, soit ν < 0,5. À ν = 0,5 pile, le volume ne change plus du tout : c'est la limite incompressible (caoutchouc, et aussi les métaux pendant leur déformation plastique).
Exemple express
Barre d'acier de diamètre 20 mm avec εℓ = 0,001 et ν = 0,3 : εt = −0,3 × 0,001 = −0,0003, donc Δd = −0,0003 × 20 = −0,006 mm, soit −6 µm. Invisible, mais parfaitement mesurable avec une jauge.
Le cisaillement : τ, γ et G
Faire glisser la matière au lieu de la tirer
Jusqu'ici, on tirait perpendiculairement à la surface. Maintenant, pose un jeu de cartes sur la table, pose ta main à plat dessus et pousse horizontalement : les cartes glissent un peu les unes sur les autres et le paquet se penche. La force est parallèle à la surface : c'est du cisaillement. Même racine que « ciseaux » : les deux lames font glisser les deux moitiés de la feuille l'une contre l'autre.
Deux nouveautés par rapport à la traction. La contrainte n'est plus normale mais tangentielle : on la note τ. Et la déformation n'est plus un allongement mais un changement d'angle : l'angle droit du paquet se referme un peu. Cette perte d'angle s'appelle la distorsion, notée γ.
F parallèle à la surface S ; la loi de Hooke version glissement
- τ
- « tau », le « t » grec : pense Tangentiel. C'est la contrainte de cisaillement (ou contrainte tangentielle), en MPa comme σ.
- γ
- « gamma », le « g » grec : pense Glissement. C'est la distorsion (ou glissement), en radians.
- G
- Le module de cisaillement (ou module de Coulomb), en GPa : la rigidité du matériau vis-à-vis du glissement. Acier ≈ 81 GPa, aluminium ≈ 26 GPa, caoutchouc ≈ 0,3 à 3 MPa.
Où rencontre-t-on du cisaillement ? Dans les boulons, rivets et goupilles qui assemblent deux plaques ; dans les clavettes (petites pièces qui lient un arbre à une roue pour transmettre la rotation) ; quand on poinçonne une tôle ; dans les ciseaux ; dans les plots antivibratoires en caoutchouc ; dans les joints collés.
Manipulation 5 : le jeu de cartes
Un bloc de 100 × 100 mm (vu de côté), de hauteur h = 20 mm, collé sur la table. On pousse la plaque du dessus avec une force F horizontale.
Manipulation 6 : le petit carré qui ne doit pas tourner
Un minuscule carré de matière, avec du cisaillement sur ses faces. Retire le cisaillement des faces verticales pour voir ce qui se passerait.
Équilibre : les deux couples se compensent, le carré reste immobile.
Le cisaillement du haut (→) et celui du bas (←) forment un couple : deux forces opposées décalées, comme tes deux mains sur un volant. À eux seuls, ils feraient tourner le carré comme une toupie. Or une pièce immobile ne tourne pas ! Il faut donc forcément du cisaillement sur les faces verticales aussi (↑ à droite, ↓ à gauche), de même valeur, pour bloquer la rotation.
Conclusion : le cisaillement va toujours par paires sur des faces perpendiculaires, et les deux valeurs sont égales : τxy = τyx. C'est la réciprocité des contraintes tangentielles. Garde cette image de toupie bloquée : c'est elle qui rendra les matrices symétriques.
Définition précise de la distorsion
γ est la variation de l'angle, initialement droit, entre deux directions de la matière (par exemple x et y), exprimée en radians. Si le haut du bloc se décale de δ (« delta » minuscule, un petit déplacement) sur une hauteur h : tan γ = δ/h, et sous HPP γ ≈ δ/h.
Seulement deux constantes indépendantes
Pour un matériau isotrope, G n'est pas une nouvelle constante libre : il se déduit de E et ν.
vérification pour l'acier : 210 / (2 × 1,3) = 80,8 GPa ✓
On le démontrera au cours 4 avec le cercle de Mohr : c'est une des plus jolies démonstrations de la RDM. Pour l'instant, retiens qu'un matériau isotrope est entièrement décrit par deux nombres, E et ν.
Démonstration de la réciprocité
Prends le petit carré de côté a et d'épaisseur e. Sur la face du haut, la force vaut τyx·a·e (contrainte × aire) ; avec celle du bas, elle forme un couple de bras de levier a, donc un moment τyx·a²·e. De même, les faces verticales donnent un moment τxy·a²·e en sens inverse. L'équilibre des moments impose τxy = τyx.
Assemblages : le piège du double cisaillement
Pour un boulon ou un axe, la contrainte de cisaillement moyenne vaut τ = F/S, où S est l'aire de la section cisaillée. Mais si l'axe traverse une chape (une pièce en U) et une patte au milieu, il est coupé en deux sections à la fois : τ = F/(2S). C'est le double cisaillement, un classique des examens.
Condition de résistance : τ ≤ Rpg = Reg/s, où Reg est la limite élastique en cisaillement (glissement). Pour les aciers, on prend souvent Reg ≈ 0,5 à 0,6 × Re : on comprendra pourquoi au cours 5 avec les critères de Tresca et de von Mises.
La facette qui tourne : pourquoi il faut une matrice
Le pont entre ce cours et les suivants
Voici l'idée qui justifie tout le reste. Reprends la barre en traction simple du chapitre 1. On l'avait coupée perpendiculairement : sur cette coupe, il n'y a que de la traction σ.
Mais rien ne t'oblige à couper droit ! Coupe en biais : la force est maintenant inclinée par rapport à la surface de coupe. Elle se décompose en une partie qui tire perpendiculairement (σn, contrainte normale) et une partie qui fait glisser (τ, cisaillement). Autrement dit : même dans la traction la plus simple, il y a du cisaillement caché. Il suffit de regarder sous le bon angle.
Conclusion capitale : en un point de la matière, « la contrainte » n'est pas un nombre. Sa valeur dépend de l'orientation de la surface qu'on regarde. Il faut donc un objet capable de donner la réponse pour toutes les orientations d'un coup : c'est le tenseur des contraintes, la fameuse matrice.
Une image pour ranger ça dans ta tête : un diamant. Selon l'angle, tu vois des reflets différents, mais c'est toujours le même diamant. La matrice, c'est le diamant ; σn et τ sur une facette, ce sont les reflets.
Manipulation 7 : la facette qui tourne
Barre tirée avec σ = 100 MPa. On garde la partie gauche ; la partie droite (en transparence) tire sur la coupe avec le vecteur contrainte T⃗. θ (« thêta ») est l'angle entre la normale n⃗ de la coupe et l'axe de la barre. À droite, chaque orientation donne un point (σₙ ; τ).
À θ = 0° (coupe droite) : σn = σ et τ = 0. On retrouve le chapitre 1.
À θ = 45° : le cisaillement est maximal et vaut τmax = σ/2. C'est pour ça que les métaux ductiles, qui cèdent par glissement de dislocations, montrent des bandes de glissement inclinées à 45° et une rupture en « cône-coupelle » : le bord de la cassure forme une collerette inclinée à 45°.
À θ = 90° (coupe parallèle à l'axe) : plus rien. Deux « fibres » voisines de la barre ne se tirent pas l'une l'autre.
Les points dessinent un cercle. C'est le cercle de Mohr, en avant-première ! Et regarde bien : quand la coupe tourne de θ dans la réalité, le point tourne de 2θ sur le cercle. Retiens dès maintenant la règle d'or du cours 4 : angle réel θ → angle double 2θ sur le cercle.
Étape 1, l'aire. La coupe inclinée est plus grande que la section droite (une tranche de saucisson coupée en biais est ovale et plus grande) : Sθ = S / cos θ.
Étape 2, la force. On décompose F selon la normale à la facette et selon la facette : partie normale F cos θ, partie tangentielle F sin θ.
Étape 3, on divise.
Étape 4, l'angle double. Avec les formules de trigonométrie cos²θ = (1 + cos 2θ)/2 et sin θ cos θ = (sin 2θ)/2 :
Étape 5, le cercle. Isole cos 2θ et sin 2θ, élève au carré et additionne (en utilisant cos² + sin² = 1) :
l'équation d'un cercle (X − a)² + Y² = R² : centre (σ/2 ; 0), rayon σ/2
Le maximum de τ est atteint quand sin 2θ = 1, donc 2θ = 90°, c'est-à-dire θ = 45°, et il vaut le rayon : τmax = σ/2.
La matrice : la carte d'identité complète d'un point
Isole par la pensée un cube minuscule autour du point étudié. Sur chacune de ses faces, la matière voisine exerce une contrainte, qui se décompose en 3 morceaux : 1 normal (qui tire ou pousse la face) et 2 tangentiels (qui la font glisser dans les deux directions possibles du plan de la face). Trois faces × trois composantes = 9 nombres. On les range dans un tableau 3 × 3 : c'est la matrice des contraintes [σ]. Les trois faces cachées portent les mêmes valeurs en sens opposé (équilibre), elles n'apportent donc rien de nouveau.
Clique sur une case de la matrice (ou sur une flèche du cube) pour voir à quoi elle correspond, puis essaie les différents cas.
Manipulation 8 : du cube à la matrice
| selon x | selon y | selon z | |||
|---|---|---|---|---|---|
| face x | |||||
| face y | |||||
| face z |
Ligne = la face. La ligne i correspond à la face de normale i (la face perpendiculaire à l'axe i). Colonne = la direction de la composante.
Diagonale = contraintes normales σ (en rouge) : elles tirent ou poussent. Hors diagonale = cisaillements τ (en violet) : ils font glisser.
La matrice est symétrique par rapport à sa diagonale : τxy = τyx, τxz = τzx, τyz = τzy. C'est le petit carré qui ne tourne pas ! Il n'y a donc que 6 valeurs indépendantes sur 9.
En 2D (état plan), on ne garde que le coin 2 × 2 en haut à gauche : σxx, τxy, σyy. Beaucoup d'exercices se font dans ce cadre.
En traction simple de valeur σ selon x, tu sais déjà tout écrire, grâce aux chapitres 3 et 4 :
tu viens d'écrire ton premier tenseur des contraintes et ton premier tenseur des déformations
Remarque cruciale : [σ] n'a qu'une case non nulle, mais [ε] en a trois ! La traction selon x ne crée des contraintes que selon x, mais des déformations dans les trois directions, à cause de Poisson. C'est exactement pour ça qu'on a besoin d'une loi de Hooke « matricielle » (dite généralisée, cours 5) pour passer d'une matrice à l'autre.
En cisaillement pur τ dans le plan xy :
avec γ = τ / G
Le lien avec la facette qui tourne
Au cours 2, tu apprendras que le vecteur contrainte sur n'importe quelle facette s'obtient par un simple produit « matrice × vecteur » : T = [σ]·n. Vérifie-le déjà sur la traction simple : avec n = (cos θ ; sin θ ; 0), le produit donne T = (σ cos θ ; 0 ; 0). C'est exactement la flèche T⃗ de la manipulation 7 : horizontale, de longueur σ cos θ. Tout est cohérent.
Exercices corrigés
Du plus simple au plus complet, avec la correction pas à pas
Pour chaque exercice : 1. écris les données avec leurs unités, 2. convertis tout en N et en mm (les MPa tombent tout seuls), 3. écris la formule littérale avant de mettre les chiffres, 4. vérifie l'ordre de grandeur (une contrainte de 10 000 MPa dans de l'acier, c'est une erreur d'unité, pas un exploit). Ouvre la correction seulement après avoir vraiment essayé : c'est l'effort de rappel qui grave les formules.
Les exercices « N1 » n'utilisent que le niveau 1 ; les « N2 » demandent les encadrés du niveau 2.
Exercice 1 : la tige de suspension N1 · chapitres 1 et 3
Une tige ronde en acier S235 (limite d'élasticité Re = 235 MPa), de diamètre d = 12 mm, supporte une charge F = 20 kN (kilonewtons : 1 kN = 1 000 N).
a) Calcule l'aire S de la section et la contrainte σ.
b) Calcule le coefficient de sécurité s = Re/σ.
c) Le bureau d'études impose s = 2. Quel diamètre minimal faut-il ? On choisira dans la liste des diamètres du commerce : 12, 14, 16, 20 mm.
Voir la correction
a) S = π d²/4 = π × 12²/4 = 113,1 mm². Puis σ = F/S = 20 000 / 113,1 = 176,8 MPa.
b) s = 235 / 176,8 = 1,33. La tige tient (s > 1), mais la marge est faible.
c) Avec s = 2, la contrainte admissible est Rpe = Re/s = 117,5 MPa. Il faut F/S ≤ 117,5, donc S ≥ 20 000/117,5 = 170,2 mm². Puis d ≥ √(4S/π) = √(4 × 170,2/π) = 14,7 mm. Le 14 est trop petit : on prend d = 16 mm.
Piège classique : on arrondit toujours au-dessus en dimensionnement.
Exercice 2 : identifier le matériau N1 · chapitres 1 à 3
Une éprouvette de section S0 = 50 mm² et de longueur utile L0 = 100 mm est tirée par F = 10 kN. On mesure un allongement ΔL = 0,095 mm, et tout revient à zéro quand on relâche.
a) Calcule σ et ε (en µε, microdéformations).
b) Déduis-en le module d'Young E. De quel métal s'agit-il probablement ?
Voir la correction
a) σ = 10 000/50 = 200 MPa et ε = 0,095/100 = 0,000 95 = 950 µε.
b) Tout revient à zéro : on est en élastique, donc Hooke s'applique. E = σ/ε = 200 / 0,000 95 = 210 500 MPa ≈ 210 GPa : c'est de l'acier.
Réflexe : pour diviser par un petit nombre, écris-le en puissance de 10 : 200 / (9,5 × 10⁻⁴) = 2,1 × 10⁵ MPa.
Exercice 3 : le tirant complet et ses deux matrices N2 · chapitres 1 à 4 et 6
Un tirant (une barre qui travaille en traction) en acier, de diamètre d = 20 mm et de longueur L0 = 2 m, est tiré par F = 50 kN. Données : E = 210 GPa, ν = 0,3. L'axe x est l'axe de la barre.
a) Calcule σ, εℓ (longitudinale) et l'allongement ΔL.
b) Calcule la déformation transversale εt et la variation du diamètre Δd.
c) Calcule la variation relative de volume ΔV/V.
d) Écris les matrices [σ] et [ε], puis vérifie que la somme de la diagonale de [ε] (sa « trace ») redonne ΔV/V.
Voir la correction
a) S = π × 20²/4 = 314,16 mm² ; σ = 50 000/314,16 = 159,2 MPa. Avec E = 210 000 MPa : εℓ = 159,2/210 000 = 7,58 × 10⁻⁴ = 758 µε. Et ΔL = εℓ L0 = 7,58 × 10⁻⁴ × 2 000 = 1,52 mm.
b) εt = −νεℓ = −0,3 × 758 = −227 µε. Donc Δd = εt × d = −227 × 10⁻⁶ × 20 = −0,0045 mm = −4,5 µm (micromètres). Le diamètre diminue d'un vingtième de cheveu : invisible, mais mesurable.
c) ΔV/V = εℓ(1 − 2ν) = 758 × 10⁻⁶ × 0,4 = 3,03 × 10⁻⁴ : le volume augmente très légèrement.
d)
Trace de [ε] : 758 − 227 − 227 = 304 µε = 3,04 × 10⁻⁴. C'est bien ΔV/V (l'écart de 0,01 vient des arrondis). Retiens ce résultat, il resservira : la trace du tenseur des déformations, c'est la variation relative de volume.
Exercice 4 : le plot antivibratoire N2 · chapitres 4 et 5
Un plot en caoutchouc (comme sous une machine à laver) a une face carrée de 100 × 100 mm et une hauteur h = 20 mm. Il est collé en bas sur le sol et en haut sur la machine. La machine le pousse horizontalement avec F = 2 000 N. Module de cisaillement : G = 1 MPa.
a) Calcule τ, puis la distorsion γ (en radians et en degrés).
b) De combien le dessus du plot se décale-t-il (δ, « delta ») ?
c) Le caoutchouc a ν ≈ 0,5 : que vaut son module d'Young E ?
d) Même question a) si le plot était en acier (G = 81 000 MPa).
Voir la correction
a) La surface cisaillée est la face collée : S = 100 × 100 = 10 000 mm². τ = 2 000/10 000 = 0,2 MPa. Puis γ = τ/G = 0,2/1 = 0,2 rad, soit 0,2 × 180/π = 11,5°.
b) δ = h · tan γ = 20 × tan(0,2) = 4,05 mm. (Pour un petit angle, tan γ ≈ γ donne 4,0 mm : quasiment pareil.)
c) E = 2G(1 + ν) = 2 × 1 × 1,5 = 3 MPa. Soixante-dix mille fois moins que l'acier !
d) γ = 0,2/81 000 = 2,5 × 10⁻⁶ rad, soit un décalage de 0,05 µm : totalement invisible. C'est pour ça qu'on fait les plots en caoutchouc : ils doivent se déformer pour absorber les vibrations.
Exercice 5 : l'axe de chape N1 · chapitre 5
Un axe (une goupille cylindrique) de diamètre d = 10 mm relie une patte à une chape (pièce en U). Il transmet F = 12 kN. Il est en acier S235, dont on prend la résistance au glissement Reg ≈ 0,5 Re.
a) Combien de sections de l'axe sont cisaillées ? Calcule τ.
b) Tient-il ?
c) Et si, par erreur de montage, l'axe ne travaillait que sur une seule section (montage « en simple cisaillement ») ?
Voir la correction
a) Avec une chape, l'axe est coupé en deux endroits (de chaque côté de la patte) : double cisaillement. S = π × 10²/4 = 78,5 mm², donc τ = F/(2S) = 12 000/157 = 76,4 MPa.
b) Reg ≈ 0,5 × 235 = 117,5 MPa > 76,4 MPa : ça tient, avec s = 117,5/76,4 ≈ 1,5.
c) τ = 12 000/78,5 = 152,8 MPa > 117,5 MPa : l'axe se cisaille. Oublier le facteur 2 (ou l'ajouter à tort) est une des erreurs les plus fréquentes en examen.
Exercice 6 : le joint collé en biseau N2 · chapitre 6
Deux morceaux de barre de section droite S = 100 mm² sont collés bout à bout selon une coupe inclinée (un « biseau » : c'est l'assemblage utilisé en menuiserie et dans les composites). La normale au plan de colle fait un angle θ avec l'axe de la barre. L'ensemble est tiré par F = 1 000 N.
La colle résiste à σn ≤ 3 MPa en arrachement et à τ ≤ 5 MPa en glissement.
a) Calcule σ dans la barre.
b) Pour θ = 60°, calcule σn et τ sur le joint : tient-il ?
c) Et pour θ = 45° ? pour θ = 0° (collage bout à bout droit) ?
d) Quel est l'angle minimal pour que le joint tienne ?
Voir la correction
a) σ = 1 000/100 = 10 MPa.
b) σn = σ cos²60° = 10 × 0,25 = 2,5 MPa ≤ 3 ✅ ; τ = σ sin 60° cos 60° = 10 × 0,866 × 0,5 = 4,33 MPa ≤ 5 ✅. Le joint tient.
c) À 45° : σn = 10 × 0,5 = 5 MPa > 3 ❌, le joint s'ouvre. À 0° : σn = 10 MPa ❌❌, c'est le pire cas.
d) Le cisaillement ne dépasse jamais τmax = σ/2 = 5 MPa : il est toujours acceptable (juste à la limite à 45°). La condition qui décide est donc 10 cos²θ ≤ 3, soit cos θ ≤ √0,3 = 0,548, donc θ ≥ 56,8°. Plus le biseau est allongé, mieux c'est : la colle travaille surtout en glissement, sur une grande surface S/cos θ.
Tu viens de faire, sans le savoir, ton premier calcul de « critère de résistance » sur une facette : c'est l'esprit exact du cours 4.
Défi : les matrices du plot N2 · chapitre 6, pour préparer le cours 2
Reprends le plot de l'exercice 4. Prends x horizontal (dans le sens de F), y vertical (la hauteur du plot) et z perpendiculaire à la feuille. En supposant que le plot est en cisaillement pur, écris [σ] (en MPa) et [ε].
Voir la correction
La face du dessus a pour normale y et reçoit une force selon x : c'est τyx = 0,2 MPa. Par réciprocité, τxy = 0,2 MPa aussi. Pour les déformations, attention au piège n° 1 : la case vaut γ/2 = 0,1, pas 0,2.
Remarque : la diagonale de [ε] est nulle, donc la trace aussi : le cisaillement pur ne change pas le volume, il ne fait que déformer les angles.
Quiz : 12 questions éclair
Chaque réponse est expliquée, même quand tu as juste
Réponds sans regarder le cours. Se tromper ici n'a aucune conséquence et fixe très bien le souvenir : ton cerveau retient mieux ce qu'il a d'abord raté puis compris.
Fiche mémoire du cours 1
Neuf cases, neuf images : à photographier, puis à redessiner de tête
Contrainte
Le fakir : la force répartie sur la surface. MPa = N/mm². Positive en traction.
Déformation
Les élastiques : allongement relatif, sans unité. 1 µε = 10⁻⁶.
Hooke
La rampe, puis Re, Rm, A %. On relâche parallèlement à la rampe. ΔL = FL0/(ES).
Poisson
Le poisson qui devient anguille. ν ≈ 0,3 (métaux), ≤ 0,5. ΔV/V = ε(1 − 2ν).
Cisaillement
Le jeu de cartes. γ en radians. G = E / 2(1 + ν) ≈ 81 GPa (acier).
Réciprocité
Le petit carré qui ne tourne pas. Donc matrice symétrique : 6 valeurs indépendantes sur 9.
Facette inclinée
Le point décrit un cercle, angle double 2θ. τmax = σ/2 à 45°.
Les deux matrices
Ligne = face, colonne = direction. Diagonale = normales. Dans [ε], hors diagonale : γ/2 (piège n° 1).
Les nombres à connaître
Ealu ≈ 70 GPa, Re(S235) = 235 MPa, 1 GPa = 1 000 MPa, 1 MPa = 1 N/mm².
Glossaire
Tous les mots, symboles et abréviations du cours, au même endroit
- A %
- Allongement à la rupture : allongement permanent de l'éprouvette cassée, en % de sa longueur initiale. Mesure la ductilité.
- Auxétique
- Matériau (souvent une structure en nid d'abeille rentrant) dont le coefficient de Poisson est négatif : il s'élargit quand on le tire.
- Cisaillement
- Sollicitation qui fait glisser des couches de matière les unes sur les autres, parallèlement à la surface considérée.
- Coefficient de Poisson ν
- « nu » : rapport (changé de signe) entre la déformation transversale et la déformation longitudinale. Sans unité, entre −1 et 0,5 ; ≈ 0,3 pour les métaux.
- Coefficient de sécurité s
- Marge prise en conception : on divise la résistance du matériau par s pour obtenir la contrainte à ne pas dépasser.
- Compression
- Sollicitation qui raccourcit la matière. Contrainte normale négative par convention.
- Contrainte
- Force intérieure rapportée à la surface sur laquelle elle s'exerce. En MPa. Normale σ (sigma) ou tangentielle τ (tau).
- Déformation ε
- « epsilon » : allongement relatif, ΔL/L0. Sans unité.
- Distorsion γ
- « gamma » : variation d'un angle initialement droit, en radians. Déformation de cisaillement.
- Dislocation
- Défaut linéaire dans un cristal métallique, dont le déplacement permet la déformation plastique (la « ride dans le tapis »).
- Ductile
- Qui se déforme beaucoup plastiquement avant de rompre (acier doux, cuivre, aluminium).
- Écrouissage
- Durcissement d'un métal causé par sa déformation plastique.
- Élastique
- Se dit d'une déformation qui disparaît entièrement quand on supprime la charge.
- Facette
- Petite surface imaginaire passant par un point, repérée par sa normale unitaire n.
- Fragile
- Qui rompt sans déformation plastique notable (fonte grise, verre, céramique, craie).
- Pa, MPa, GPa
- Pascal (1 N/m²), mégapascal (10⁶ Pa = 1 N/mm²), gigapascal (10⁹ Pa = 1 000 MPa).
- HPP
- Hypothèse des Petites Perturbations : déformations et déplacements petits, on calcule sur la géométrie initiale.
- Homogène
- Mêmes propriétés en tout point de la pièce.
- Isotrope
- Mêmes propriétés dans toutes les directions (faux pour le bois ou les composites fibrés).
- Matrice
- Tableau de nombres rangés en lignes et en colonnes. Ici 3 × 3, pour représenter un tenseur dans un repère.
- Module de cisaillement G
- Raideur du matériau vis-à-vis du glissement : τ = Gγ. En MPa ou GPa. Aussi appelé module de Coulomb.
- Module d'Young E
- Raideur du matériau en traction : σ = Eε. Pente de la zone élastique. En GPa.
- Normale
- Direction perpendiculaire à une surface. Une contrainte normale est dirigée selon cette direction.
- Plastique
- Se dit d'une déformation qui reste après suppression de la charge (permanente).
- Re
- Limite d'élasticité : contrainte au-delà de laquelle la déformation devient permanente.
- Rm
- Résistance à la traction : contrainte maximale supportée lors de l'essai (le sommet de la courbe).
- Rp0,2
- Limite conventionnelle d'élasticité : contrainte qui laisse 0,2 % de déformation permanente. Utilisée quand il n'y a pas de palier net (aluminium).
- Rpe
- Résistance pratique à l'extension : Re/s, la contrainte à ne pas dépasser en conception.
- Reg
- Résistance élastique au glissement (au cisaillement), ≈ 0,5 à 0,6 Re pour les aciers.
- Radian (rad)
- Unité d'angle : 180° = π rad, donc 1 rad ≈ 57,3°.
- Saint-Venant (principe de)
- Loin des points d'application des efforts, la répartition des contraintes ne dépend plus de la façon exacte dont on applique la force.
- Section droite
- Coupe perpendiculaire à l'axe de la pièce.
- Striction
- Amincissement localisé (le « cou ») qui précède la rupture d'une éprouvette ductile.
- Symétrique (matrice)
- Matrice égale à sa transposée : la case (i, j) vaut la case (j, i).
- Tangentiel(le)
- Parallèle à la surface considérée. Synonyme ici de « de cisaillement ».
- Tenseur
- Objet mathématique qui décrit une grandeur dépendant de l'orientation ; dans un repère donné, il s'écrit comme une matrice.
- Trace
- Somme des termes de la diagonale d'une matrice. Trace de [ε] = ΔV/V.
- Traction
- Sollicitation qui allonge la matière. Contrainte normale positive.
- Vecteur contrainte T
- Force par unité de surface agissant sur une facette ; se décompose en σn (normale) et τ (tangentielle).
- µε
- Microdéformation : 10⁻⁶, soit 1 µm d'allongement par mètre.
Check-list : suis-je prêt pour le cours 2 ?
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