L'amorçage : la naissance d'une fissure

Un métal n'est pas un bloc uniforme : c'est un assemblage de petits cristaux, les grains, de 10 à 100 µm environ (µm : micromètre, un millième de millimètre). Dans chaque grain, les atomes sont rangés en plans réguliers, et chaque grain a sa propre orientation, comme des voyageurs tournés dans tous les sens.

Pour déformer un grain de façon permanente, il faut faire glisser ses plans d'atomes les uns sur les autres, comme les cartes d'un jeu qu'on pousse. Ce glissement se fait grâce à des défauts mobiles du cristal, les dislocations : comme une ride qu'on fait courir dans un tapis pour le déplacer sans le soulever d'un coup.

La limite d'élasticité R_e mesurée en traction est une moyenne : c'est la contrainte à laquelle la plupart des grains glissent. Mais dans la foule, certains grains sont tournés exactement comme il faut pour glisser facilement : ils commencent bien avant. Comme dans un métro bondé où, sous la même secousse, seuls quelques voyageurs mal placés trébuchent.

Où sont ces grains ? Surtout près de la surface, pour deux raisons données par le polycopié :

• la surface est souvent le lieu des contraintes maximales (flexion, torsion, entailles : cours 1) ;
• un grain de surface n'a de voisins que d'un côté : il est moins tenu, moins « confiné », et se déforme plus librement. Comme le voyageur près des portes, qui n'a personne pour le retenir.

Ces microglissements se produisent à l'échelle de quelques grains. Vus de loin, ils sont réversibles et invisibles : la pièce ne change pas de forme. Mais ils modifient déjà les propriétés de la surface.

Le polycopié note que ces microglissements modifient les propriétés macroscopiques de la surface. Trois mots à connaître :

• écrouissage cyclique : la matière durcit au fil des cycles (les dislocations s'enchevêtrent et se gênent) ; c'est le cas des métaux recuits, initialement mous ;
• adoucissement cyclique : la matière s'affaiblit au fil des cycles (les obstacles aux dislocations se réarrangent) ; c'est le cas de métaux déjà durcis, écrouis à froid ou trempés ;
• relaxation des contraintes résiduelles : les contraintes résiduelles (celles qui existent sans charge extérieure) diminuent, parce que la petite plastification locale les « consomme ».

Coupe en pensée une barre tendue par un plan perpendiculaire à l'effort : sur ce plan, la contrainte est purement normale, elle tend à écarter les deux morceaux. Incline maintenant le plan : une partie de l'effort tend à faire glisser un morceau sur l'autre. C'est le cisaillement τ (« tau »). Il est nul pour le plan droit, nul pour un plan parallèle à l'effort, et maximal pour le plan à 45°, où il vaut la moitié de la contrainte de traction.

Or un glissement plastique a besoin de cisaillement. En traction-compression, les grains glissent donc préférentiellement sur des plans proches de 45° de l'effort (polycopié, p. 4). Chaque grain a ses propres plans : ceux qui sont bien orientés glissent, les autres attendent.

Après quelques milliers de cycles, ces glissements laissent des traces sur la surface polie : de fines lignes parallèles, les bandes de glissement (figure 5 du polycopié : un acier observé au microscope à force atomique, un superalliage base nickel au microscope électronique à balayage).

Barre en traction simple σ ; un plan dont la normale fait l'angle θ avec l'axe de l'effort porte :

Ces valeurs se lisent sur le cercle de Mohr (série RDM, cours 4) : centre σ/2, rayon σ/2 ; le point du plan d'angle θ est vu sous l'angle 2θ depuis le centre. Le sommet du cercle donne τ_max = σ/2.

La loi de Schmid hors poly

Dans un grain, ce qui compte est le cisaillement résolu sur son système de glissement : la part de τ qui agit sur son plan, dans sa direction.

Le facteur de Schmid m_S = cos φ·cos λ vaut au plus 0,5, atteint pour φ = λ = 45°. Le grain glisse dès que τ_r atteint sa scission critique τ_c, une propriété du cristal. Les grains de m_S proche de 0,5 glissent donc les premiers.

Exemple. σ = 200 MPa ; un grain à φ = λ = 45° (m_S = 0,5) voit τ_r = 100 MPa ; un grain dont le plan est presque parallèle à l'effort (φ = 80°, λ = 10°, m_S = 0,171) ne voit que 34 MPa.

Et en torsion ?

En torsion pure, le cisaillement maximal agit sur les plans transversaux et longitudinaux de l'arbre, et la contrainte normale maximale sur les plans à 45°. Les premiers glissements (et les microfissures de stade I) suivent donc l'axe ou la section droite ; la fissure qui grandit ensuite s'oriente à 45°, en hélice (chapitre 4).

Pose un jeu de cartes incliné sur la table et pousse-le d'avant en arrière. Si toutes les cartes reviennent exactement à leur place, le jeu redevient parfaitement net : c'est le cas réversible (figure 6a du polycopié). En traction, des lamelles de métal glissent vers l'extérieur ; en compression, les mêmes lamelles reviennent par le même chemin, et la surface redevient plane.

Dans la réalité, le retour ne se fait pas tout à fait par le même chemin : une carte revient un peu moins loin, sa voisine un peu plus. Au fil des cycles, des lamelles sortent de la surface et d'autres s'y enfoncent : ce sont les extrusions et les intrusions (figure 6b, et figure 7 sur une éprouvette de cuivre). C'est le cas irréversible.

Une intrusion, c'est une entaille microscopique : un sillon étroit et profond de quelques micromètres. Et une entaille concentre la contrainte (cours 1). Au fond de l'intrusion, la contrainte locale devient assez forte pour ouvrir une microfissure (figure 6b).

Pourquoi le glissement ne revient-il pas ? Plusieurs raisons s'ajoutent : les dislocations s'accrochent les unes aux autres et ne repartent pas toutes par le même plan ; certaines changent de plan (glissement dévié) ; et la marche fraîchement créée en surface s'oxyde aussitôt à l'air, ce qui l'empêche de se refermer exactement. Sous vide, les durées de vie en fatigue sont d'ailleurs souvent plus longues qu'à l'air.

L'intrusion, une entaille

Pour une entaille de profondeur a et de rayon à fond d'entaille ρ, la formule d'Inglis du cours 1 (K_t = 1 + 2a/b, ellipse de demi-axes a et b) se réécrit avec ρ = b²/a :

Exemple. Intrusion de 3 µm de profondeur et de 0,5 µm de rayon : K_t = 1 + 2√(3/0,5) = 1 + 2 × 2,45 ≈ 5,9. Sous σ = 150 MPa, la contrainte locale atteint environ 885 MPa : bien au-delà de R_e, une microfissure peut s'ouvrir.

La microfissure née au fond d'une intrusion suit d'abord le chemin le plus facile : le plan de glissement, incliné à environ 45° de l'effort (polycopié, p. 5). Elle reste à l'échelle d'un ou deux grains ; chaque joint de grains, où l'orientation change, la freine ou la dévie.

En traction-compression, la fissure finit par tourner et devenir perpendiculaire à la surface, c'est-à-dire perpendiculaire à la contrainte qui l'ouvre (figure 8 du polycopié, sur une éprouvette d'aluminium grossie 300 fois). Elle traverse alors les grains en ligne presque droite. C'est le passage de la microfissure, à l'échelle du grain, à la macrofissure, qui obéira à la mécanique de la rupture (cours 4).

Toutes les fissures ne partent pas de la surface. Elles peuvent aussi naître dans le volume, autour de défauts préexistants : pores (petites bulles de gaz), inclusions (particules étrangères : oxydes, sulfures, laitier), interfaces diverses (entre deux phases, sous un revêtement). Autour de ces défauts, une déformation plastique très localisée joue le même rôle que les bandes de glissement en surface.

Pourquoi la fissure tourne-t-elle ? Tant qu'elle est plus petite qu'un grain, sa pointe « voit » la cristallographie : elle avance là où le glissement est facile. Quand elle devient longue, la concentration de contrainte à sa pointe domine : elle avance là où sa pointe est le plus ouverte, c'est-à-dire perpendiculairement à la contrainte principale maximale. Le stade I occupe souvent une grande part de la durée de vie d'une éprouvette lisse, même s'il ne couvre que quelques dizaines de micromètres.

Surface ou volume ? En endurance classique, l'amorçage se fait presque toujours en surface. Il passe dans le volume quand la surface a été renforcée (grenaillage, cémentation, nitruration) ou aux très grands nombres de cycles : c'est l'« œil de poisson » autour d'une inclusion, vu au cours 2.

Il est possible, mais difficile, de repérer l'apparition des premières microfissures pendant un essai (microscope, répliques de la surface). On peut alors tracer une seconde courbe de Wöhler, la courbe à l'amorçage, à côté de la courbe à rupture (figure 9 du polycopié). Elle est forcément à gauche : on se fissure toujours avant de casser. Elle partage le diagramme en trois domaines :

• domaine 1, à gauche de la courbe d'amorçage : non fissuré ;
• domaine 2, entre les deux courbes : fissuré, pas encore rompu ;
• domaine 3, à droite de la courbe de rupture : rompu.

Plus surprenant : on observe parfois que la courbe d'amorçage passe aussi en dessous de la courbe de rupture (figure 10), avec une limite d'endurance à l'amorçage σ_Di plus basse que σ_D. Entre les deux apparaît un domaine 4 : la pièce est microfissurée, parfois sur plusieurs centaines de micromètres, mais les fissures deviennent dormantes et ne conduiront jamais à la rupture. Comme une graine tombée sur un rocher : elle germe, pousse un peu, puis s'arrête faute de terre.

Le polycopié cite trois situations où cela arrive : des contraintes résiduelles de surface (une compression qui « serre » la fissure), un matériau aux propriétés différentes en surface et à cœur (surface traitée), et des géométries complexes à fortes concentrations de contraintes (la fissure naît au fond d'une entaille aiguë, puis sort de la zone surchargée).

Pourquoi une fissure s'endort-elle ? Une fissure longue se propage si son étendue du facteur d'intensité de contrainte dépasse un seuil (simple rappel ; le cours 4 détaille tout) :

Une fissure très courte, elle, n'est arrêtée que si l'étendue de contrainte reste sous la limite d'endurance Δσ_D = 2σ_D. En 1976, Kitagawa et Takahashi ont réuni les deux conditions sur un même diagramme (log Δσ en fonction de log a) : la frontière est une horizontale à Δσ_D pour les fissures courtes, puis la droite Δσ = ΔK_S/(Y√a) pour les fissures longues. Les deux se croisent pour la longueur caractéristique :

Exemple. Acier avec ΔK_S = 7 MPa·√m et Δσ_D = 380 MPa (à R = 0), Y = 2 : a₀ = (7/(2 × 380))² = (0,00921)² = 8,5 × 10⁻⁵ m ≈ 85 µm. Une fissure de 0,5 mm ne se propage que si Δσ ≥ 7/(2 × √0,0005) ≈ 157 MPa.

Lecture des fissures dormantes. Au fond d'une entaille aiguë, la contrainte locale K_t·Δσ dépasse Δσ_D : une fissure s'amorce (on a quitté le domaine 1). Mais en grandissant, elle sort de la petite zone surchargée ; son ΔK, calculé avec la contrainte nominale, reste sous ΔK_S : elle s'arrête. Le point de fonctionnement est sous la frontière de Kitagawa : c'est le domaine 4.

Quand on connaît les sollicitations subies par une pièce, on peut chercher où et quand elle va s'amorcer (polycopié, p. 7). La démarche est toujours la même :

1. calculer les contraintes en tout point de la pièce : par la RDM (résistance des matériaux), la MMC (mécanique des milieux continus) ou les éléments finis (calcul numérique qui découpe la pièce en milliers de petits morceaux) ;
2. en chaque point, calculer la valeur d'un critère d'amorçage : un nombre qui résume l'état de contrainte cyclique ;
3. chercher les points critiques, là où ce critère est le plus grand ;
4. comparer à un seuil mesuré par l'expérience : en dessous, l'amorçage est impossible (c'est la limite d'endurance à l'amorçage) ; au-dessus, il se produira au bout d'un certain nombre de cycles (10⁴, 10⁵, 10⁶…).

Puisque l'amorçage naît de glissements plastiques, les critères s'inspirent de la plasticité : Tresca et von Mises (que tu connais pour la limite d'élasticité), et deux critères conçus pour la fatigue, Crossland et Dang Van. Ces deux derniers ajoutent un ingrédient : la pression hydrostatique, la partie de la contrainte qui « gonfle » ou « comprime » la matière sans la cisailler. Une traction qui ouvre les microfissures aggrave la fatigue ; une compression la soulage.

Enfin, selon le matériau, les concentrations de contrainte, le chargement et l'état de surface, l'amorçage représente une part plus ou moins grande de la vie totale : négligeable ou au contraire prépondérante.

L'amplitude équivalente de von Mises

Pour une contrainte normale σ_a et un cisaillement τ_a alternés et en phase (moyennes nulles), on se ramène à une contrainte uniaxiale équivalente, comparée à la limite d'endurance en flexion f₋₁ (l'indice −1 rappelle R = −1) :

Le critère de Crossland

Il combine l'amplitude de cisaillement « moyen » de l'état de contrainte, √J_2,a, et la pression hydrostatique maximale du cycle, P_max :

√J_2,a

amplitude du second invariant du déviateur (J₂ mesure la part « cisaillante » de l'état de contrainte, celle qu'utilise von Mises). Pour σ et τ en phase : √J_2,a = √(σ_a²/3 + τ_a²)

P_max

pression hydrostatique maximale : moyenne des trois contraintes normales, P = (σ₁ + σ₂ + σ₃)/3 ; pour une flexion : P_max = (σ_m + σ_a)/3

D'où viennent α et β ? En torsion alternée pure à la limite (τ_a = t₋₁, P = 0) : √J_2,a = t₋₁, donc β = t₋₁. En flexion alternée pure à la limite (σ_a = f₋₁) : √J_2,a = f₋₁/√3 et P_max = f₋₁/3 ; en écrivant f₋₁/√3 + α·f₋₁/3 = t₋₁, on trouve α.

Exemple (réglage initial de la manipulation, proche de l'exercice 5) : f₋₁ = 270, t₋₁ = 170 MPa, donc α = 3 × 170/270 − 1,732 = 0,157 et β = 170 MPa. Avec σ_a = 150 et τ_a = 55 MPa : √J_2,a = √(7 500 + 3 025) = 102,6 MPa, P_max = 50 MPa, critère 102,6 + 0,157 × 50 = 110,4 ≤ 170 ✅ : coefficient de sécurité 170/110,4 ≈ 1,54. Von Mises : √(150² + 3 × 55²) = 177,7 MPa ≤ 270 ✅ (1,52).

Cherche chaque question avant d'ouvrir la correction. Écris la formule littérale, puis les valeurs avec leurs unités. Les manipulations 2, 5 bis et 6 permettent de vérifier tes résultats.