Le cycle : parler la langue de la fatigue

Reprends le trombone. En tirant dessus, tu ne le casses pas : il faudrait atteindre sa résistance R_m, et tes doigts n'y arrivent pas. En le pliant puis en le dépliant, tu déformes un peu le métal au niveau du pli, de façon permanente. Chaque pliage laisse une petite blessure qui ne se répare pas ; les blessures s'additionnent. Au bout d'une quinzaine d'allers-retours, une fissure apparaît, traverse le fil, et il casse.

Pense à un sentier dans l'herbe : un seul passage ne laisse aucune trace visible, mille passages tracent un chemin. En fatigue, chaque cycle de chargement laisse une trace microscopique, invisible à l'œil nu, et c'est leur accumulation qui finit par rompre la pièce.

Dans une machine ou une structure, les contraintes sont bien plus faibles que dans le trombone, souvent inférieures à R_e : chaque cycle abîme beaucoup moins. Mais les cycles se comptent alors en millions, voire en milliards. Le polycopié le dit ainsi : le nombre d'« alternances » va de quelques unités à plusieurs centaines de millions.

La notation 10⁸ (« dix puissance huit ») veut dire 1 suivi de 8 zéros : 100 000 000, cent millions. Le symbole ≈ se lit « environ égal à ».

Les contraintes cycliques peuvent être de traction, de compression, de traction-compression, de cisaillement, de torsion, de flexion ou, dans le cas général, triaxiales : les trois contraintes principales sont alors non nulles (série RDM, cours 4). La situation est aggravée par les concentrations de contraintes et les défauts (chapitre 5).

Des cycles au temps

Une pièce sollicitée à une fréquence constante subit un nombre de cycles proportionnel au temps :

N

nombre de cycles, sans unité

f

fréquence des cycles, en hertz (Hz) : 1 Hz = un cycle par seconde

t

durée, en secondes (s)

Exemple. Un essai de fatigue de 10⁷ cycles sur une machine à 50 Hz dure t = 10⁷/50 = 2 × 10⁵ s ≈ 55,6 h ≈ 2,3 jours. Les essais de fatigue sont longs : c'est une des raisons pour lesquelles on ne peut pas tout tester.

Pourquoi la fatigue est-elle si dangereuse ?

Elle agit sans dépasser R_m (le calcul statique dit « ça tient »), sans déformation visible de la pièce (la fissure reste longtemps minuscule), et sans prévenir : la rupture finale est brutale, même dans un métal ductile qui, en traction simple, se serait allongé et aminci avant de casser.

En service, la contrainte dans une pièce ne varie presque jamais de façon régulière. La suspension d'une voiture encaisse des nids-de-poule, une éolienne des rafales, une plateforme pétrolière des vagues de toutes tailles, un pont roulant des charges différentes à chaque levage. Le signal ressemble à la figure 1 du polycopié : de grandes oscillations, de petites ondulations par-dessus, des moments calmes. On parle de chargement aléatoire.

Impossible de tester en laboratoire chaque histoire de chargement possible. Alors on simplifie : on soumet des éprouvettes à des cycles sinusoïdaux bien réglés, toujours les mêmes, comme un diapason qui donne une note pure au lieu du vacarme de la rue. Le polycopié le dit : on « simule » les conditions réelles par des essais simplifiés.

Reste à faire le chemin inverse : pour utiliser les résultats du laboratoire, il faut découper le signal réel en cycles. C'est comme compter les vagues depuis la plage : il y a les grosses vagues, et les petites rides qui courent dessus. Deux remarques simplifient tout :

• seuls comptent les extremums du signal, c'est-à-dire ses pics (maximums locaux) et ses vallées (minimums locaux) ;
• pour un métal à température ambiante, la forme exacte du signal entre deux extremums, et le temps mis pour aller de l'un à l'autre, comptent peu en première approximation.

La méthode rainflow (« écoulement de la pluie »), proposée par les Japonais Matsuishi et Endo en 1968, est la méthode de référence pour découper un signal en cycles. Son nom vient d'une image : tourne le graphique d'un quart de tour, le temps vers le bas ; le signal ressemble alors à une série de toits de pagode, et on imagine l'eau de pluie qui ruisselle d'un toit à l'autre. Elle est décrite dans la norme américaine ASTM E1049 (ASTM : American Society for Testing and Materials, organisme de normalisation). Voici sa version « trois points », la plus simple à appliquer à la main.

Chaque cycle extrait est décrit par son étendue Δσ (l'écart entre ses deux extremums) et par sa moyenne σ_m (la demi-somme de ses deux extremums), deux grandeurs définies proprement au chapitre 3.

Exemple du cours

Extremums successifs, en MPa : A = −40, B = 20, C = −60, D = 100, E = −20, F = 60, G = −80, H = 80, I = −40. (C'est l'exemple de la norme ASTM E1049, multiplié par 20.)

Bilan : un cycle complet de 80 MPa, et des demi-cycles de 60, 80, 160, 180, 160 et 120 MPa. En regroupant : 0,5 cycle à 60 MPa, 1,5 cycle à 80 MPa, 0,5 à 120, 1 à 160 et 0,5 à 180 MPa, soit 4 cycles au total.

Le résultat du comptage, rangé par classes d'étendue, s'appelle un spectre de chargement (ou histogramme). Plus loin dans le polycopié, chaque classe sera comparée à la courbe de Wöhler et les dommages seront additionnés (règle de Miner).

Assieds-toi au bout d'un ponton et regarde la mer. Le niveau moyen de l'eau, autour duquel tout oscille, c'est la contrainte moyenne σ_m. Une crête monte au-dessus de ce niveau d'une hauteur σ_a, l'amplitude ; un creux descend d'autant au-dessous. La crête, c'est σ_max ; le creux, σ_min.

Un surfeur, lui, mesure sa vague du creux à la crête : c'est l'étendue Δσ (Δ, la lettre grecque « delta », désigne un écart). Elle vaut deux fois l'amplitude.

Quand la marée monte, le niveau moyen s'élève mais les vagues gardent la même hauteur : σ_m change, σ_a ne change pas. Ces deux grandeurs sont indépendantes ; il en faut deux pour décrire un cycle, et les quatre autres s'en déduisent.

Enfin, le rapport de charge R compare le creux à la crête : R = σ_min/σ_max. Un seul nombre, sans unité, qui dit à quoi ressemble le cycle (chapitre 4).

Le cycle sinusoïdal du polycopié (figure 2) s'écrit :

Deux nombres suffisent

Un cycle sinusoïdal est entièrement fixé par deux grandeurs indépendantes (plus sa fréquence) : (σ_m, σ_a), ou (σ_max, σ_min), ou (σ_max, R), ou encore (Δσ, R). Les essais et les normes utilisent surtout les deux derniers couples. Les conversions se démontrent en remplaçant σ_min par R·σ_max :

Et, dans l'autre sens, à partir de la moyenne et de l'amplitude :

Exemple complet. Un cycle va de σ_max = 250 MPa à σ_min = −50 MPa (le réglage initial de la manipulation 3 en mode σ_max/σ_min).

• σ_m = (250 + (−50))/2 = 200/2 = 100 MPa
• σ_a = (250 − (−50))/2 = 300/2 = 150 MPa
• Δσ = 250 − (−50) = 300 MPa = 2 × 150 ✅
• R = −50/250 = −0,2 ; contrôle : (100 − 150)/(100 + 150) = −50/250 = −0,2 ✅

Ordres de grandeur. Sur un détail soudé de charpente, les étendues Δσ dues au trafic vont de quelques dizaines de MPa à environ 150 MPa. Sur un arbre de machine en acier traité, les amplitudes σ_a atteignent couramment 100 à 300 MPa.

La figure 3 du polycopié range les cycles en quatre familles, selon la position de la moyenne par rapport à l'amplitude. Associe à chacune une image :

• (a) La balançoire, R = −1 : contrainte alternée symétrique. σ_m = 0 : autant de traction que de compression, comme une balançoire qui monte aussi haut devant que derrière. Exemple : un essieu qui tourne.
• (b) Le plongeoir, −1 < R < 0 : contrainte alternée asymétrique. 0 < σ_m < σ_a : la planche plie fort sous le plongeur, puis rebondit un peu dans l'autre sens. On passe en compression, mais moins qu'en traction.
• (c) Le crochet de grue, R = 0 : contrainte répétée. σ_m = σ_a, donc σ_min = 0 : on charge, on décharge jusqu'à zéro, on recommence.
• (d) La corde de guitare, 0 < R < 1 : contrainte ondulée. σ_m > σ_a : la corde est toujours tendue et vibre autour de sa tension. Exemple : un boulon serré qui encaisse de petites variations.

La figure ne montre pas les cycles où domine la compression. Ils existent pourtant : une bielle de moteur poussée très fort puis tirée un peu, un appui de pont écrasé un peu plus à chaque camion. Et tout en haut de la règle, R = 1 : σ_min = σ_max, plus rien ne varie, c'est le chargement statique.

Démonstration : pourquoi −1 < R < 0 pour la famille (b)

On part de R = (σ_m − σ_a)/(σ_m + σ_a) avec 0 < σ_m < σ_a. Le numérateur σ_m − σ_a est négatif, le dénominateur σ_m + σ_a est positif : R < 0. Et la valeur absolue du numérateur, σ_a − σ_m, est plus petite que le dénominateur σ_a + σ_m (on enlève σ_m au lieu de l'ajouter) : |R| < 1. Donc −1 < R < 0. Le même raisonnement donne 0 < R < 1 pour la famille (d).

Le lien entre x = σ_m/σ_a et R

La courbe de la manipulation 4 est une hyperbole : quand x s'approche de −1 (σ_max → 0), R part vers l'infini. Toute la droite des réels est parcourue : R peut valoir n'importe quel nombre, sauf exactement 1 pour un cycle qui varie.

Pour mesurer la résistance en fatigue, le polycopié cite des sollicitations-types : traction-compression, flexion, torsion, cisaillement. Elles ne font pas travailler la matière de la même façon :

• en traction-compression, toute la section porte la même contrainte ;
• en flexion, comme une baguette qu'on plie, la contrainte est nulle au centre (sur l'axe neutre) et maximale à la surface : un côté s'étire, l'autre s'écrase ;
• en torsion, comme une serviette qu'on essore, le cisaillement est nul au centre et maximal à la surface.

La machine historique de Wöhler utilise la flexion rotative : on plie un arbre qui tourne. Le côté tendu et le côté comprimé restent fixes dans l'espace, mais la matière tourne : chaque point de la surface passe par le côté tendu, puis par le côté comprimé, à chaque tour. Résultat : un cycle alterné symétrique (R = −1) par tour, sans aucun mécanisme compliqué.

Ajoute maintenant un trou dans une plaque tendue. Les « lignes de force » qui transmettent l'effort doivent le contourner, comme l'eau d'une rivière autour de la pile d'un pont : elles se resserrent sur les bords du trou, et la contrainte y monte. C'est une concentration de contrainte. Un trou rond triple la contrainte locale ; une entaille fine, une rayure ou le pied d'un cordon de soudure font de même, parfois pire.

Bilan : en flexion et en torsion, la contrainte est maximale en surface ; les entailles, les rayures d'usinage et les pieds de cordon sont en surface ; l'air humide et les agents corrosifs attaquent la surface. Les fissures de fatigue naissent donc presque toujours en surface. (Le cours 3 ajoutera une raison métallurgique : les grains de surface sont moins tenus par leurs voisins.)

Rappels de la série RDM, pour un rond plein de diamètre d :

S = πd²/4

aire de la section (mm²)

I_Gz = πd⁴/64

moment quadratique par rapport à un diamètre (mm⁴) : la « rigidité de forme » en flexion

W = πd³/32

module de flexion, W = I_Gz/(d/2) (mm³)

I_G = πd⁴/32

moment polaire (mm⁴), pour la torsion

La flexion rotative

Repère le point P par sa distance au centre ρ (lettre grecque « rhô », 0 ≤ ρ ≤ d/2) et par l'angle θ (« thêta ») dont l'arbre a tourné depuis que P était sur l'axe neutre. La distance de P à l'axe neutre vaut alors ρ·sin θ, et la contrainte de flexion est proportionnelle à cette distance :

Exemple numérique (réglage initial de la manipulation) : d = 40 mm, Mf = 400 N·m = 400 000 N·mm, F = 0.

• W = π × 40³/32 = π × 64 000/32 = 6 283 mm³
• σ_a = 400 000/6 283 = 63,7 MPa, et σ_m = 0 : R = −1
• à n = 1 500 tr/min : f = 1 500/60 = 25 Hz, soit 25 × 3 600 = 90 000 cycles par heure

La torsion

Un arbre qui transmet un couple Mt (moment de torsion) subit un cisaillement τ (lettre grecque « tau ») : une contrainte qui fait glisser les tranches de matière les unes sur les autres. Il vaut τ = Mt·r/I_G à la distance r du centre, et il est maximal en surface : τ_max = 16Mt/(πd³). Un couple qui varie (moteur à explosion, éolienne en rafales) crée donc lui aussi des cycles, de cisaillement cette fois.

Le coefficient de concentration de contrainte K_t

Pour un trou elliptique dans une plaque large, de demi-axe a perpendiculaire à l'effort et de demi-axe b parallèle à l'effort, la formule d'Inglis (1913) donne :

Quand l'ellipse s'aplatit jusqu'à devenir une fissure, K_t tend vers l'infini : le coefficient K_t n'a plus de sens, et la mécanique de la rupture le remplace par le facteur d'intensité de contrainte K (chapitre 6 et cours 4).

Exemple. Une plaque large percée d'un trou rond, tirée à σ_nom = 80 MPa : σ_max,loc = 3 × 80 = 240 MPa au bord du trou. Si la plaque est en acier S235 (R_e = 235 MPa), le bord du trou plastifie déjà alors que le calcul nominal semblait très rassurant.

Le polycopié (p. 1) découpe la vie d'une pièce fatiguée en six phases, plus ou moins distinctes. Imagine une pellicule de film en six images ; à chaque image, on change de grossissement :

µm : micromètre (micron), un millième de millimètre. Un cheveu mesure environ 70 µm d'épaisseur. CND : contrôle non destructif (voir le niveau 2).

On regroupe ces scènes en deux actes : l'amorçage (scènes 1 à 4 : naître) et la propagation (scènes 5 et 6 : grandir puis casser). La part de chaque acte dans la vie de la pièce dépend énormément de la pièce : c'est ce que montre la manipulation.

Selon le polycopié (p. 7), l'amorçage peut représenter une part négligeable ou au contraire prépondérante de la durée de vie, selon le matériau, les concentrations de contrainte, le chargement et l'état de surface. Ordres de grandeur indicatifs : la plus grande partie de la vie pour une éprouvette lisse et polie peu chargée, environ la moitié pour une pièce entaillée, très peu pour un assemblage soudé.

La taille critique (simple rappel de mécanique de la rupture)

La fissure de longueur a est caractérisée par le facteur d'intensité de contrainte K_I, qui mesure la sévérité de la contrainte à sa pointe (l'indice I désigne le mode I, l'ouverture de la fissure par traction perpendiculaire à ses lèvres). La pièce casse brutalement quand K_I atteint la ténacité K_IC du matériau, sa résistance à la propagation brutale d'une fissure. Avec la notation du polycopié :

Exemple. Acier de ténacité K_IC = 50 MPa·√m, fissure débouchante en surface (Y ≈ 1,12√π ≈ 2), σ_max = 200 MPa : a_c = (50/(2 × 200))² = (0,125)² = 0,0156 m ≈ 16 mm. Une fissure de 1 mm est donc détectable bien avant d'être dangereuse : c'est tout l'enjeu des inspections.

Deux métiers, deux connaissances

Le polycopié (p. 1 et 2) conclut que, pour prévoir la tenue en fatigue d'une pièce réelle, il faut connaître les conditions réelles de chargement (le travail du mécanicien : mesurer, compter et décrire les cycles, objet de ce cours) et connaître la réponse du matériau et son endommagement selon le niveau de contrainte, le nombre et l'amplitude des cycles (le travail du métallurgiste : cours 2 à 4).

Cherche chaque question sur papier avant d'ouvrir la correction. Écris toujours la formule littérale, puis les valeurs avec leurs unités. Les manipulations 3, 4 et 5 permettent de vérifier tes résultats.