Propagation et loi de Paris : de la fissure à la rupture

Entre les deux, la fissure avance un peu à chaque cycle, de façon essentiellement transgranulaire (à travers les grains). Le polycopié décrit ce mouvement en quatre temps (figure 11) :

• début : la pointe de la fissure est aiguë ;
• traction : la matière plastifie juste devant la pointe ; la pointe s'ouvre, s'arrondit (elle s'émousse) et avance un peu. Une fissure émoussée est moins dangereuse : elle s'arrête ;
• compression : la déformation se fait en sens inverse ; les lèvres se referment et la pointe s'affûte de nouveau, en laissant un petit repli. Elle redevient « vulnérable » ;
• traction suivante : la fissure repart, s'émousse, avance encore d'un pas.

Comme une chenille arpenteuse : elle s'étire, se replie, et à chaque cycle elle a avancé d'un pas. Chaque pas laisse sur les faces de la cassure un petit repli : une strie de fatigue.

La taille de la zone plastique hors poly

Devant la pointe, la matière dépasse R_e dans une petite zone. Son rayon s'estime (formule d'Irwin, contraintes planes) par :

Exemple. K_max = 20 MPa·√m dans un acier de R_e = 400 MPa : r_p ≈ (20/400)²/(2π) = 0,0025/6,28 ≈ 4 × 10⁻⁴ m = 0,4 mm. La zone qui plastifie à chaque cycle, en traction puis en compression (zone plastique cyclique), est environ quatre fois plus petite : de l'ordre de 0,1 mm.

Le modèle de Laird explique l'avancée par l'ouverture de la pointe : plus K est grand, plus la pointe s'ouvre, plus le pas est long. Il suggère une vitesse proportionnelle à ΔK², alors que les essais donnent plutôt ΔK² à ΔK⁴ : le mécanisme est un peu plus riche, mais l'image est juste.

Une rupture par fatigue a un visage reconnaissable entre mille (figure 12 du polycopié). Sur la surface cassée, on distingue :

• l'origine, le point d'amorçage, presque toujours en surface ;
• une zone lisse et plane, celle de la propagation lente, où la fissure a avancé cycle après cycle. Elle porte souvent des lignes d'arrêt : des arcs concentriques autour de l'origine, comme les lignes de croissance d'un coquillage ;
• une zone rugueuse, celle de la rupture brutale finale, quand la section restante n'a plus suffi.

Les lignes d'arrêt se forment quand le chargement cyclique s'interrompt (la nuit, le week-end, à l'arrêt d'une machine) : le fond de fissure, exposé à l'air, s'oxyde un peu plus, d'où un contraste de couleur. Elles apparaissent aussi quand le chargement change (amplitude ou contrainte moyenne plus forte ou plus faible).

Au microscope électronique, la zone lisse révèle les stries de fatigue (figure 13, sur un aluminium) : des milliers de petites rides parallèles, une par cycle. Les lignes d'arrêt se voient à l'œil nu ; les stries, seulement au microscope.

Ce que l'expert lit sur la cassure hors poly :

• la taille de la zone de rupture finale : la fissure casse la pièce à a_C = (K_IC/(Y·σ_max))². Une petite zone de fatigue et une grande zone brutale signalent une contrainte maximale élevée ; une grande zone de fatigue, une contrainte faible ou un matériau tenace ;
• le nombre d'origines : une seule origine trahit souvent un défaut local ; plusieurs origines, séparées par de petites marches (les « marches de rochet »), une contrainte élevée ou une concentration de contrainte étendue, comme un pied de cordon ;
• l'orientation : la cassure est perpendiculaire à la contrainte principale de traction (cours 3) ;
• l'espacement des stries : en le mesurant, on remonte à da/dN, puis à ΔK par la loi de Paris (chapitre 4), puis à la contrainte qui a réellement agi.

On mesure, au laboratoire, la vitesse d'avancée de la fissure, da/dN (en mètres par cycle), et on la reporte en fonction de l'étendue du facteur d'intensité de contrainte pendant le cycle :

En échelles logarithmiques sur les deux axes, la courbe a toujours la même allure (figure 14 du polycopié), comme une autoroute :

• domaine 1, le péage : en dessous d'une valeur seuil ΔK_S, la fissure ne se propage pas. Près du seuil, elle avance de moins d'une distance entre atomes par cycle : en réalité, elle n'avance plus ;
• domaine 2, l'autoroute : pour les sollicitations intermédiaires, une longue ligne droite. C'est la loi de Paris (chapitre 4) ;
• domaine 3, la falaise : quand K_max s'approche de la ténacité K_C, la vitesse explose ; si K_max atteint K_C, la rupture se fait en un quart de cycle (le temps de monter jusqu'au maximum).

Attention (figure 15) : même si on impose une étendue de contrainte Δσ constante, ΔK augmente au fur et à mesure que la fissure grandit, puisqu'il contient √a. La fissure « monte » donc toute seule le long de la courbe : plus elle est longue, plus elle va vite, plus elle s'allonge vite… C'est un emballement.

Avec R = K_min/K_max = σ_min/σ_max (R ≥ 0), on a :

Effet de R hors poly. À ΔK égal, une fissure soumise à un R plus élevé va plus vite et a un seuil plus bas. Explication principale (Elber, 1970) : à R faible, les lèvres de la fissure se touchent avant la fin de la décharge (fermeture de fissure), et une partie de ΔK ne sert à rien ; à R élevé, la fissure reste ouverte pendant tout le cycle.

Ordres de grandeur de la figure 14. Domaine 1 vers 10⁻⁹ m/cycle et en dessous (polycopié ; la norme ASTM E647 fixe conventionnellement le seuil à 10⁻¹⁰ m/cycle) ; domaine 2 entre environ 10⁻⁸ et 10⁻⁶ m/cycle, soit 0,01 à 1 µm par cycle ; domaine 3 au-delà.

Exemple. Δσ = 100 MPa, Y = 2, a = 2 mm : ΔK = 100 × 2 × √0,002 = 8,9 MPa·√m, au-dessus d'un seuil de 6 MPa·√m : la fissure se propage. À a = 8 mm (quatre fois plus longue), ΔK double : 17,9 MPa·√m.

Dans le domaine 2, les logarithmes de la vitesse et de ΔK sont liés par une droite. En 1963, Paul Paris et Fazil Erdogan ont écrit cette observation sous la forme qui porte le nom du premier :

Pour les aciers, m vaut environ 3. Cela donne deux leviers à retenir :

• doubler ΔK multiplie la vitesse par 2³ = 8 ;
• comme ΔK contient √a, une fissure deux fois plus longue va (√2)³ ≈ 2,8 fois plus vite, à contrainte égale.

Et chaque cycle laissant une strie, l'espacement des stries mesuré au microscope est la vitesse da/dN : la cassure garde la mémoire de la loi de Paris.

Constantes des aciers hors poly (valeurs moyennes publiées par J. M. Barsom, avec da/dN en m/cycle et ΔK en MPa·√m) :

Exemple (ferrito-perlitique) : à ΔK = 10 MPa·√m, da/dN = 6,9 × 10⁻¹² × 10³ = 6,9 × 10⁻⁹ m/cycle, soit 6,9 nm par cycle (nm : nanomètre, un millionième de millimètre). Il faut alors 10⁻³/6,9 × 10⁻⁹ ≈ 145 000 cycles pour avancer d'un millimètre. À ΔK = 20 : 8 fois plus vite.

Le piège des unités de C

C a une unité « bizarre » : m/cycle/(MPa·√m)^m. Sa valeur change complètement avec les unités. Beaucoup de documents de soudage travaillent en mm/cycle et en N·mm^−3/2 (1 MPa·√m = 31,62 N·mm^−3/2, car √1 000 = 31,62). La conversion :

Exemple : 6,9 × 10⁻¹² × 1 000/31,62³ ≈ 2,2 × 10⁻¹³. Et la valeur prudente 1,65 × 10⁻¹¹ devient 5,2 × 10⁻¹³, le nombre qu'on lit dans les recommandations de soudage.

La loi de Paris donne la vitesse de la fissure ; on veut le temps qu'elle met pour passer d'une longueur initiale a₀ (le défaut détecté ou supposé) à la longueur critique a_C (la rupture). Il suffit d'additionner les petits temps nécessaires pour franchir chaque petit morceau de chemin : c'est une intégrale.

Le résultat surprend toujours : presque toute la durée de propagation se passe quand la fissure est petite. Comme un sablier qui coule à peine au début : la fissure met autant de cycles pour passer de 1 à 2 mm que pour passer de 2 mm à la rupture, ou presque. Une fois longue, elle s'emballe.

Deux conséquences pratiques :

• la durée de vie dépend énormément de la taille du défaut initial, beaucoup moins de la longueur critique ;
• pour une structure inspectée, ce qui compte est le temps entre le moment où la fissure devient détectable (par un contrôle non destructif, CND) et le moment où elle devient critique. On inspecte plus souvent que cette durée, avec une marge : c'est le principe de la tolérance aux dommages.

On sépare les variables dans la loi de Paris, avec ΔK = ΔσY√a et Y supposé constant :

Une primitive de a^−m/2 est a^1−m/2/(1 − m/2), d'où, pour m ≠ 2 :

Et pour m = 3, le cas des aciers, la formule devient très simple :

Exemple (réglage initial de la manipulation). Δσ = 100 MPa, R = 0,1, Y = 2, K_IC = 50 MPa·√m, a₀ = 1 mm, C = 6,9 × 10⁻¹², m = 3.

• σ_max = 100/0,9 = 111,1 MPa ; a_C = (50/(2 × 111,1))² = 0,0506 m ≈ 51 mm.
• 1/√a₀ = 31,62 ; 1/√a_C = 4,44 ; C(ΔσY)³ = 6,9 × 10⁻¹² × 200³ = 5,52 × 10⁻⁵.
• N_p = 2 × (31,62 − 4,44)/5,52 × 10⁻⁵ ≈ 9,8 × 10⁵ cycles.
• Depuis 2 mm : 2 × (22,36 − 4,44)/5,52 × 10⁻⁵ ≈ 6,5 × 10⁵ cycles. Le passage de 1 à 2 mm a donc pris à lui seul 34 % de la durée de propagation.

L'intervalle d'inspection

Si un contrôle détecte à coup sûr les fissures de longueur a_d, la fissure met N(a_d → a_C) cycles pour devenir critique après être devenue détectable. On inspecte au moins deux fois pendant cette durée (coefficient de sécurité 2, parfois 3) :

Dans l'exemple, avec a_d = 2 mm : 6,5 × 10⁵/2 ≈ 3,2 × 10⁵ cycles entre deux inspections.

Reprends la formule du chapitre 5 pour un pied de cordon : un petit défaut initial a_i, une fissure finale a_f (la moitié de l'épaisseur, par exemple), m = 3. Tout ce qui ne dépend pas de la contrainte se regroupe en une constante :

C'est exactement la forme des courbes de fatigue des soudures du cours 2 : Δσ³·N = constante. La pente 3 des classes FAT n'est pas un choix arbitraire : c'est l'exposant de Paris, parce qu'une soudure passe sa vie à propager.

Et la formule dit encore deux choses. La nuance d'acier n'y apparaît pas (C et m varient peu d'un acier de construction à l'autre) : c'est pourquoi un acier plus résistant n'améliore pas une soudure brute. En revanche, la taille du défaut initial y est en bonne place : c'est pourquoi meuler un pied de cordon, et effacer ses défauts, relève sa classe.

En écrivant N = 2 × 10⁶ dans la relation précédente, on obtient l'étendue supportée à 2 millions de cycles :

Exemples (a_f = 10 mm, Y = 2, C = 1,65 × 10⁻¹¹) :

Calcul détaillé pour 0,3 mm : 2 × (57,7 − 10) = 95,5 ; C·Y³ × 2 × 10⁶ = 1,65 × 10⁻¹¹ × 8 × 2 × 10⁶ = 2,64 × 10⁻⁴ ; (95,5/2,64 × 10⁻⁴)^1/3 = (3,61 × 10⁵)^1/3 ≈ 71 MPa.

On retrouve l'ordre de grandeur des classes FAT des détails courants (71 à 100). Ce modèle est volontairement simplifié : les calculs réels intègrent un Y qui dépend de a, un facteur d'amplification dû à la géométrie du pied de cordon, la forme demi-elliptique du front et l'épaisseur. Il montre les mécanismes, il ne remplace pas les tableaux de l'EN 1993-1-9.

Cherche chaque question avant d'ouvrir la correction. Écris la formule littérale, puis les valeurs avec leurs unités ; dans les formules de mécanique de la rupture, les longueurs de fissure sont en mètres. Les manipulations 4, 5 et 6 permettent de vérifier tes résultats.