La courbe de Wöhler : l'espérance de vie d'une pièce

On prend une éprouvette : un petit barreau de métal usiné et poli, aminci en son milieu pour que la rupture se produise là. On la monte sur une machine qui lui impose un cycle sinusoïdal bien réglé : une amplitude σ_a fixe, autour d'une moyenne σ_m fixe. Un compteur tourne. Quand l'éprouvette casse, on note le nombre de cycles atteint : c'est sa durée de vie N_r (r comme rupture).

Un essai donne un seul point : un couple (σ_a, N_r). On recommence avec une autre éprouvette, un peu moins chargée : elle dure plus longtemps. Encore moins chargée : encore plus longtemps. En reportant tous les points sur un graphique, σ_a en ordonnée et N_r en abscisse, on voit apparaître la courbe d'endurance, ou courbe de Wöhler, du nom de l'ingénieur ferroviaire allemand August Wöhler qui l'a établie pour des essieux dans les années 1850-1860.

Quand une éprouvette tient très longtemps (par exemple dix millions de cycles) sans casser, on arrête l'essai : on ne va pas attendre éternellement. On note le point avec une petite flèche → : « non rompue, la durée de vie réelle est plus grande ».

Le polycopié (p. 2 et 3) décrit la démarche : on simule les conditions réelles par des essais simplifiés (traction-compression, flexion, torsion), le plus souvent avec des sollicitations sinusoïdales, et on compte le nombre de cycles à rupture pour divers niveaux de contrainte, la contrainte maximale restant inférieure à la résistance R_m du matériau. Un protocole typique :

• 4 à 6 niveaux de contrainte, du plus fort (rupture en quelques milliers de cycles) au plus faible (éprouvettes non rompues) ;
• plusieurs éprouvettes par niveau (3 au minimum, souvent davantage), à cause de la dispersion (chapitre 6) ;
• une limite d'arrêt : souvent 10⁷ cycles pour les aciers, 10⁸ ou plus pour les alliages d'aluminium ;
• une contrainte moyenne σ_m (ou un rapport R) fixée pour toute la courbe.

Les durées de vie vont de quelques cycles à des centaines de millions. Sur un axe ordinaire (linéaire), où chaque centimètre ajoute la même quantité, impossible de tout montrer : si l'axe va de 0 à 100 millions, tout ce qui se passe avant un million est écrasé dans le premier centième de l'axe.

La solution : une échelle logarithmique, où chaque graduation vaut dix fois la précédente : 1, 10, 100, 1 000, 10 000… L'intervalle entre deux graduations s'appelle une décade, et toutes les décades ont la même longueur. Aller de 10 à 100 prend autant de place qu'aller de 1 million à 10 millions.

Imagine un immeuble magique dont chaque étage est dix fois plus haut que le précédent : sur le dessin d'architecte « logarithmique », tous les étages ont la même taille. Tu connais déjà de telles échelles : l'échelle de Richter des séismes, les décibels du son, le pH.

Lire entre deux graduations. Sur une échelle logarithmique, les nombres ne sont pas régulièrement répartis dans une décade : le 2 est à 30 % de la décade, le 3 à 48 %, le 5 à 70 %. La moitié de la décade ne correspond pas à 5, mais à environ 3,2.

Trois règles de calcul suffisent pour tout ce cours :

Valeurs à connaître : log 2 ≈ 0,301 ; log 3 ≈ 0,477 ; log 5 ≈ 0,699. Exemple : log(2 × 10⁶) = log 2 + log 10⁶ = 0,301 + 6 = 6,301.

Placer un point sur un axe logarithmique

Sur un axe de longueur L qui va de N_min à N_max, la position d'une valeur N, mesurée depuis l'origine de l'axe, vaut :

Exemple. Axe de 16 cm allant de 1 à 10⁸ (8 décades, donc 2 cm par décade) ; où placer 3 × 10⁶ ? log(3 × 10⁶) = 6,477, donc position = 16 × 6,477/8 = 12,95 cm.

Le papier log-log

Quand les deux axes sont logarithmiques (diagramme « log-log »), une loi en puissance du type y = C·x^p devient une droite, puisque log y = log C + p·log x. C'est pour cela que la partie centrale de la courbe de Wöhler devient une droite en log-log (chapitre 5).

Trace la courbe de Wöhler d'un acier en échelle logarithmique : elle a la forme d'un toboggan (figure 4 du polycopié).

• Le palier de départ, en haut à gauche : la fatigue oligocyclique (du grec oligos, « peu »). La contrainte dépasse la limite d'élasticité R_e : à chaque cycle, toute la section se déforme plastiquement, comme le trombone qu'on plie. La rupture arrive vite, en moins de 10⁴ cycles environ.
• La grande descente : l'endurance limitée. La contrainte est sous R_e, la pièce reste élastique dans son ensemble ; seuls quelques grains plastifient localement (en surface, près des défauts, des inclusions). La durée de vie s'allonge très vite quand la contrainte baisse. C'est le domaine de la plupart des pièces de machines et des structures.
• La plage : l'endurance illimitée. Pour certains métaux, comme les aciers, il existe un niveau de contrainte, la limite d'endurance σ_D, en dessous duquel la rupture ne se produit plus. La courbe devient horizontale.

Le polycopié appelle les deux derniers domaines la fatigue « vibratoire » (élastique), objet principal de la série ; la fatigue plastique oligocyclique fait l'objet d'un chapitre à part, plus loin dans le polycopié.

≲ : « inférieur ou de l'ordre de ». Les frontières sont des ordres de grandeur : la transition oligocyclique se situe entre 10³ et 10⁵ cycles selon les matériaux.

Sur la figure 4 du polycopié, l'axe vertical porte deux repères : ≈ R_m à N_r ≈ 1 (une contrainte égale à R_m casse la pièce dès le premier chargement, en un quart de cycle) et ≈ R_e vers 10⁴ cycles, à la sortie du domaine oligocyclique.

Les métaux sont faits de petits cristaux, les grains, dans lesquels les atomes sont rangés selon un motif qui se répète. Deux motifs nous intéressent ici :

• cubique centré (CC) : un atome à chaque coin d'un cube et un au centre. C'est le cas du fer à température ambiante, donc des aciers de construction ;
• cubique à faces centrées (CFC) : un atome à chaque coin et un au centre de chaque face. C'est le cas de l'aluminium, du cuivre, du nickel et des aciers inoxydables austénitiques.

Selon le polycopié, les métaux du premier type, comme les aciers, ont souvent une vraie plage : sous σ_D, plus de rupture. Ceux du second type, comme l'aluminium, n'en ont pas : la courbe continue de descendre, doucement mais sans fin. Pour eux, on définit une limite d'endurance conventionnelle : la contrainte qui conduit à la rupture au bout d'un nombre de cycles choisi, 10⁶, 10⁷, 10⁸ ou 10⁹, au moins égal au nombre de cycles que la pièce verra en service.

Image : un forfait téléphonique. L'acier a un forfait illimité sous σ_D. L'aluminium n'a que des forfaits à N cycles : il faut choisir le bon forfait pour l'usage prévu.

Pourquoi une plage pour les aciers ? hors poly L'explication la plus citée : dans le fer cubique centré, de petits atomes de carbone et d'azote logés entre les atomes de fer viennent « épingler » les défauts du cristal qui permettent le glissement (les dislocations, cours 3). Sous une contrainte faible, les glissements restent bloqués et aucune fissure ne naît. Dans l'aluminium, rien n'épingle durablement ces défauts : chaque cycle, même petit, fait un peu de dégât.

Trois nuances importantes.

• Corrosion : en eau de mer ou en atmosphère agressive, l'acier perd sa plage ; sa courbe continue de descendre comme celle de l'aluminium.
• Domaine gigacyclique (au-delà de 10⁸ cycles) : des essais sur machines à ultrasons (10⁹ cycles en quelques heures) ont montré que certains aciers rompent sous σ_D, à partir d'une inclusion interne. La cassure montre alors un « œil de poisson » (fish-eye) : une zone claire et ronde autour de l'inclusion.
• Chargement variable : quelques grands cycles peuvent amorcer une fissure que les petits cycles, même sous σ_D, font ensuite grandir. C'est pourquoi l'EN 1993-1-9 prolonge ses courbes sous la limite à amplitude constante (chapitre 7).

Et si la contrainte moyenne n'est pas nulle ? hors poly

σ_D est d'ordinaire mesurée à σ_m = 0. Une contrainte moyenne de traction réduit l'amplitude admissible. On le représente sur le diagramme de Haigh : σ_m en abscisse, σ_a en ordonnée. Deux critères classiques relient le point (0, σ_D) au point (R_m, 0) :

Exemple. Acier de σ_D = 270 MPa et R_m = 600 MPa, sous σ_m = 150 MPa. Goodman : σ_a = 270 × (1 − 150/600) = 270 × 0,75 = 202,5 MPa. Gerber : σ_a = 270 × (1 − 0,25²) = 253 MPa.

Retrace la courbe de Wöhler avec les deux axes en échelle logarithmique : la grande descente, celle de l'endurance limitée, devient presque une droite. Deux points suffisent alors pour la tracer, et une équation simple la décrit : c'est la loi de Basquin (du nom de l'ingénieur américain O. H. Basquin, 1910).

Cette droite cache un levier puissant. Pour une éprouvette d'acier lisse, la pente correspond à un exposant k ≈ 10 : si tu baisses la contrainte de 10 %, la durée de vie est multipliée par (1/0,9)¹⁰ ≈ 2,9 ; si tu la divises par 2, la durée de vie est multipliée par 2¹⁰ ≈ 1 000. Petite cause, énorme effet.

Pour une soudure, l'exposant vaut 3 : diviser Δσ par 2 multiplie la durée de vie par 2³ = 8. Le levier est plus faible, mais il reste le premier outil du concepteur : baisser la contrainte (épaissir, mieux placer la soudure) paie toujours.

Dans le domaine d'endurance limitée, la loi de Basquin s'écrit, dans sa forme « ingénieur » :

k

exposant de la courbe, sans unité : environ 8 à 15 pour une éprouvette lisse en acier, 3 pour une soudure

C

constante du matériau (et des conditions d'essai), en MPa^k : une unité bizarre, on l'utilise surtout via des rapports

En prenant le logarithme : log N_r = log C − k·log σ_a. Sur le papier log-log, c'est une droite. Sur le diagramme de Wöhler (log N_r en abscisse, log σ_a en ordonnée), sa pente vaut −1/k.

La forme d'origine, avec les alternances

σ′_f

coefficient de résistance à la fatigue, en MPa (de l'ordre de R_m à 2R_m pour les aciers)

b

exposant de Basquin, négatif et sans unité : environ −0,05 à −0,12

Les deux formes sont équivalentes avec k = −1/b : en élevant la seconde à la puissance −1/b, on trouve σ_a^k·2N_r = σ′_f^k, soit σ_a^k·N_r = σ′_f^k/2 = C.

Ce qu'on fait avec en pratique

Trouver k à partir de deux essais (σ_a1, N₁) et (σ_a2, N₂) : en écrivant σ_a1^kN₁ = σ_a2^kN₂ puis en prenant le logarithme :

Prévoir une durée de vie à partir d'un point connu, sans même calculer C :

Exemple (réglage initial de la manipulation). Essais : 400 MPa → 10⁴ cycles et 250 MPa → 10⁶ cycles.

• k = log(10⁶/10⁴)/log(400/250) = 2/0,2041 = 9,80, soit b = −1/9,80 = −0,102.
• À 300 MPa : N = 10⁴ × (400/300)^9,80 = 10⁴ × 16,8 ≈ 1,7 × 10⁵ cycles.
• σ′_f = σ_a1/(2N₁)^b = 400 × (2 × 10⁴)^0,102 ≈ 1 100 MPa.

Lance dix fléchettes en visant le même point : elles se groupent, mais aucune ne tombe exactement au même endroit. Les essais de fatigue font pareil. Dix éprouvettes « identiques », au même niveau de contrainte, donnent dix durées de vie différentes, parfois dans un rapport de 1 à 10. Chaque éprouvette a ses propres petits défauts : rayures, inclusions, grains plus ou moins bien orientés. Et la fatigue démarre toujours au point le plus faible.

Conséquence : la « courbe de Wöhler » tracée dans un catalogue est en général la courbe médiane (la moitié des éprouvettes casse avant, la moitié après). Pour concevoir une pièce, on ne peut pas accepter qu'une pièce sur deux casse avant la date prévue : on utilise une courbe décalée vers la gauche, qui correspond à une forte probabilité de survie, par exemple 97,7 %.

À contrainte fixée, on observe que ce n'est pas N_r mais log N_r qui se répartit selon une loi normale (la courbe en cloche de Gauss) : on dit que N_r suit une loi log-normale. Deux nombres la résument :

μ

« mu » : la moyenne des log N_r ; 10^μ est la durée de vie médiane N₅₀

s

l'écart-type des log N_r : la largeur typique du nuage, en décades. s = √[Σ(x_i − μ)²/(n − 1)], où Σ (« sigma » majuscule) désigne la somme sur les n essais et x_i = log N_i

La durée de vie atteinte avec une probabilité de survie P_s s'écrit :

Exemple. μ = 5,2 et s = 0,2 : la durée de vie médiane est 10^5,2 ≈ 1,6 × 10⁵ cycles ; à 97,7 % de survie, N = 10^{5,2 − 2 × 0,2} = 10^4,8 ≈ 6,3 × 10⁴ cycles, soit 2,5 fois moins que la médiane.

La méthode de l'escalier, pour mesurer σ_D

La limite d'endurance aussi est dispersée. Pour la mesurer, on utilise souvent la méthode de l'escalier : on essaie une éprouvette à un niveau σ ; si elle casse avant 10⁷ cycles, la suivante est essayée un cran d'amplitude d plus bas ; si elle survit, un cran plus haut. Après 15 à 30 éprouvettes, les niveaux oscillent autour de la limite d'endurance médiane, dont on calcule la moyenne et l'écart-type.

L'éprouvette de laboratoire est une star de concours : petite, polie, sans entaille, dans un air sec. La pièce réelle est plus rugueuse, plus grosse, percée, filetée, soudée, parfois mouillée. Chaque différence abaisse la courbe. Le polycopié le rappelle (p. 3) : on réalise donc aussi des essais sur éprouvettes à forte concentration de contrainte, entaillées, préfissurées, ou directement sur des pièces réelles.

Pour les assemblages soudés, on est allé jusqu'au bout de cette logique : on a testé chaque type de détail (cordon bout à bout arasé ou non, raidisseur transversal, gousset, attache longitudinale…) tel qu'il sort de l'atelier, puis on a rangé les résultats dans un catalogue de courbes. Chaque détail reçoit une étiquette, sa classe FAT : l'étendue de contrainte, en MPa, qu'il supporte pendant 2 millions de cycles. FAT 160 pour une tôle laminée sans soudure, FAT 36 pour les détails les plus sévères : un rapport de plus de 4 en contrainte, donc de plus de 80 en durée de vie (4,4³ ≈ 88).

Fait remarquable : la classe FAT ne dépend pas de la nuance d'acier. Un S690 soudé n'a pas une meilleure tenue en fatigue qu'un S235 soudé, parce que la vie d'une soudure est une durée de propagation, et que les fissures se propagent à peu près à la même vitesse dans tous les aciers.

La sensibilité q est proche de 1 pour les aciers à haute résistance et les grandes entailles, plus faible pour les métaux doux et les entailles très aiguës. Exemple : K_t = 2,5 et q = 0,8 donnent K_f = 1 + 0,8 × 1,5 = 2,2 ; un acier de σ_D = 270 MPa n'a plus que 270/2,2 ≈ 123 MPa au fond de cette entaille, exprimés en contrainte nominale.

État de surface et taille hors poly : on multiplie encore σ_D par des coefficients inférieurs à 1. Ordres de grandeur du coefficient de surface pour un acier de R_m ≈ 600 MPa : poli 1 ; rectifié ≈ 0,9 ; usiné ≈ 0,8 ; laminé à chaud ≈ 0,6 ; brut de forge ≈ 0,5. Plus la pièce est grosse, plus elle a de chances de contenir un défaut critique : le coefficient de taille descend de 1 à environ 0,8 pour un diamètre de 50 mm.

Chaque catégorie de détail est repérée par Δσ_C (C comme catégorie), le nombre de la classe FAT : 160, 140, 125, 112, 100, 90, 80, 71, 63, 56, 50, 45, 40 ou 36 MPa. La courbe de résistance Δσ_R(N) a trois morceaux :

D'où viennent 0,737 et 0,405 ? Δσ_D = Δσ_C·(2/5)^1/3 = 0,737 Δσ_C ; Δσ_L = Δσ_D·(5/100)^1/5 = 0,549 Δσ_D = 0,405 Δσ_C.

Vérification d'un détail sous un chargement d'amplitude constante Δσ répété N fois :

Exemple. Détail FAT 71 sous Δσ = 50 MPa, 3 × 10⁶ cycles (on reste sous 5 × 10⁶ : pente 3). Δσ_R = 71 × (2 × 10⁶/3 × 10⁶)^1/3 = 71 × 0,874 = 62,0 MPa. Avec γ_Mf = 1,15 : 62,0/1,15 = 53,9 MPa ≥ 50 ✅. Avec γ_Mf = 1,35 : 45,9 MPa < 50 ❌.

Cherche chaque question sur papier avant d'ouvrir la correction. Écris la formule littérale, puis les valeurs avec leurs unités. Les manipulations 3, 5 et 7 permettent de vérifier tes résultats.