La forme compte : les caractéristiques des sections

Découpe la section dans du carton et pose-la à plat sur la pointe d'un doigt : il existe un seul point où elle tient en équilibre. C'est son centre de gravité G (le polycopié dit « isobarycentre »). C'est par G que passe la ligne moyenne de la poutre (cours 6).

Pour le trouver, on utilise le moment statique : l'aire multipliée par la distance à un axe, un peu comme un moment de force où chaque petit morceau de surface jouerait le rôle d'un poids. Si l'axe passe par G, les morceaux de part et d'autre se compensent exactement : le moment statique par rapport à un axe passant par G est nul. C'est exactement l'équilibre sur le doigt.

Pour une section composée de plusieurs rectangles (un T, un I…), on fait la moyenne des centres de gravité de chaque morceau, pondérée par leurs aires :

Section S repérée par (O, y, z), point courant P de coordonnées (y ; z), petit élément de surface dS (p. 23) :

Les trois propriétés (p. 23) : a) M_SOy = z_GS et M_SOz = y_GS, ce qui donne G ; b) le moment statique par rapport à un axe passant par G est nul ; c) il est additif : celui d'une section composée est la somme de ceux de ses morceaux. D'où la formule de y_G ci-dessus.

Exemple (valeurs par défaut de la manipulation) : table 120 × 20 mm (S₁ = 2 400 mm², centre à y₁ = 110 mm du bas), âme 20 × 100 mm (S₂ = 2 000 mm², y₂ = 50 mm). y_G = (2 400 × 110 + 2 000 × 50)/4 400 = 82,7 mm : G est tiré vers la table, qui a le plus de matière.

Prends une règle plate en plastique et essaie de la plier : à plat, c'est facile ; posée sur la tranche (« sur chant »), c'est presque impossible. Même matière, même section : seule l'orientation change. Pourquoi ?

En flexion, la section tourne autour d'un axe horizontal passant par G, l'axe neutre. Une fibre située à la distance y de cet axe s'allonge proportionnellement à y (cours 9). Elle porte donc une contrainte proportionnelle à y, et cette force agit avec un bras de levier y. Sa contribution à la résistance au moment de flexion est proportionnelle à y × y = y². D'où la grandeur qui mesure la rigidité de forme : le moment quadratique, somme de y² × (petite aire) sur toute la section.

La hauteur est au cube : doubler la hauteur multiplie la rigidité par 8, doubler la largeur seulement par 2. Pour la règle de 200 × 20 mm, passer de « à plat » à « sur chant » multiplie I par (200/20)² = 100.

Définitions du polycopié (p. 23) : I_Oz = ∫_S y² dS et I_Oy = ∫_S z² dS. L'indice désigne l'axe par rapport auquel on calcule ; la distance au carré est celle mesurée perpendiculairement à cet axe. Pour l'axe Oz, c'est y ; pour l'axe Oy, c'est z. Piège classique : I_Gz contient des y², pas des z².

Calcul pour un rectangle (b horizontal, h vertical, G au centre) : découpe-le en bandes horizontales de hauteur dy et de largeur b. I_Gz = ∫_−h/2^h/2 y²·b dy = b[y³/3]_−h/2^h/2 = bh³/12. Par le même calcul avec des bandes verticales : I_Gy = hb³/12.

Unités et ordres de grandeur : une surface multipliée par une distance au carré donne des mm⁴ (ou des cm⁴ dans les catalogues : 1 cm⁴ = 10 000 mm⁴). Règle de 200 × 20 mm : 1,3 × 10⁵ mm⁴ à plat, 1,3 × 10⁷ mm⁴ sur chant. Poutrelle IPE 300 du commerce : environ 8 360 cm⁴, soit 8,4 × 10⁷ mm⁴.

Une patineuse qui tourne sur elle-même ralentit quand elle écarte les bras : la même masse, placée plus loin de l'axe, résiste beaucoup plus à la rotation. Pour une section, c'est pareil : un morceau de surface S, dont le centre est à la distance d de l'axe, apporte son propre moment quadratique (autour de son centre) plus S × d². C'est le théorème de Huygens (p. 23) :

La poutrelle en I s'explique ainsi : on met presque toute la matière dans deux semelles, loin de l'axe neutre, où le terme S·d² est énorme, et on les relie par une âme mince. À quantité de matière égale, on gagne un facteur 20 sur un barreau carré.

La méthode en tableau pour une section composée : 1. découper en rectangles ; 2. trouver G (chapitre 1) ; 3. pour chaque morceau, calculer son I propre (bh³/12) et son terme S_i·d_i², où d_i est la distance de son centre à G ; 4. additionner.

Démonstration. Soit y′ la distance d'un point à l'axe Gz, et y = y′ + y_G sa distance à l'axe Oz parallèle. I_Oz = ∫(y′ + y_G)² dS = ∫y′² dS + 2y_G∫y′ dS + y_G²∫dS. Le terme du milieu contient le moment statique par rapport à un axe passant par G : il est nul (chapitre 1). Il reste I_Oz = I_Gz + S·y_G². Même raisonnement pour le moment produit : M_POyz = M_PGyz + y_G·z_G·S (p. 23).

Exemple complet (section en T du chapitre 1, y_G = 82,7 mm) :

I_Gz = 1 746 700 + 3 927 000 ≈ 5,67 × 10⁶ mm⁴ (567 cm⁴). Les termes de Huygens pèsent ici plus que les moments propres.

Pose une cornière (une section en L) sur deux appuis et charge-la verticalement : elle ne descend pas tout droit, elle part aussi de côté. La raison : pour une section sans axe de symétrie, les axes y et z ne sont pas les axes « naturels » de la flexion. Il existe un troisième nombre, le moment produit :

Quand on fait tourner l'axe de calcul Δ autour de G, le moment quadratique I_Δ varie. Il passe par un maximum et par un minimum, pour deux directions perpendiculaires : les axes principaux de la section, pour lesquels le moment produit est nul. Selon ces axes, une charge ne fait pas partir la poutre de travers. C'est exactement la même mathématique que les contraintes principales du cours 4 : une matrice symétrique 2 × 2, ses directions propres, et un cercle de Mohr.

Axe quelconque. Pour un axe Δ passant par O et faisant l'angle α = (y⃗, Δ⃗) :

Axes principaux (p. 24) : les directions propres de cette matrice. Les moments quadratiques principaux et l'angle θ = (y⃗, Y⃗) valent :

En torsion, la section tourne sur elle-même autour de G : chaque point se déplace proportionnellement à sa distance r au centre, et non plus à sa distance à un axe. D'où un autre moment, le moment polaire (p. 24) :

≪ : « très petit devant ». Pour le tube rond, l'approximation πeR³ se trompe de moins de 1 % quand e est dix fois plus petit que R.

Le module de flexion, qui servira au cours 9 : la contrainte maximale de flexion est atteinte sur la fibre la plus éloignée de l'axe neutre, à la distance v. On pose W = I_Gz/v, et alors |σ|_max = |Mf|/W. Rectangle : W = bh²/6 ; rond : W = πd³/32. Les catalogues de profilés donnent directement W.

Dessine toujours la section avec ses axes, découpe-la en rectangles et présente tes calculs en tableau. Les manipulations 1, 3, 4 et 5 permettent de vérifier tes résultats. Dimensions en mm.