Faire glisser la coupe : les diagrammes

Au cours 6, la coupe à la position x donnait trois nombres : N, T et Mf. Fais glisser la coupe de l'appui gauche à l'appui droit, et note à chaque position la valeur trouvée : tu obtiens trois courbes, N(x), T(x) et Mf(x). Ce sont les diagrammes. La manipulation te montre la trace qui se dessine pendant que la coupe avance.

La méthode par tronçons. Les formules ne changent qu'aux endroits où « il se passe quelque chose » : un appui, une charge ponctuelle, le début ou la fin d'une charge répartie, un couple. Entre deux de ces points, sur un tronçon, une seule expression suffit. On découpe donc la poutre en tronçons, on écrit N, T, Mf sur chacun, et on trace.

Poutre sur deux appuis A (x = 0) et B (x = L), charge F vers le bas en x = a. Réactions (cours 6) : Y_A = F(L − a)/L, Y_B = F·a/L.

Tronçon 1 : 0 < x < a. À gauche de la coupe, seulement Y_A. T_y = −Y_A (constant) et Mf_z = Y_A·x (droite qui monte).
Tronçon 2 : a < x < L. Y_A et F. T_y = F − Y_A = Y_B (constant) et Mf_z = Y_A·x − F(x − a) = Y_B(L − x) (droite qui redescend à 0).

Lecture : T saute de −Y_A à +Y_B sous la charge, soit un saut de F. Mf forme un triangle dont le sommet, sous la charge, vaut Mf_max = F·a(L − a)/L ; au milieu, FL/4.

Quand la poutre ne porte que des forces ponctuelles :

1. Entre deux charges, T est constant (une marche horizontale) : en déplaçant la coupe, on n'ajoute aucune force à gauche.
2. Sous chaque charge, T fait un saut égal à la charge : la force entre d'un coup dans la partie gauche.
3. Entre deux charges, Mf est une droite, qui change de pente sous chaque charge : on dit que le diagramme a un point anguleux.

Et aux extrémités sur appuis simples ou articulations (sans couple appliqué), Mf vaut toujours 0 : il n'y a rien pour faire tourner.

Pour une force ponctuelle de composantes (F_x ; F_y) en x₀, quand la coupe passe de x₀⁻ (juste avant) à x₀⁺ (juste après), la force rejoint la partie gauche, d'où, avec la convention du polycopié :

Les réactions d'appui sont des forces ponctuelles comme les autres : T saute aussi au droit de chaque appui. Vérification très efficace : aux deux extrémités d'une poutre sur deux appuis, T part de 0 et revient à 0 après le dernier saut.

Une charge répartie est étalée sur une longueur : le poids propre d'une poutre, la neige sur un toit, un plancher. On la décrit par son intensité p, en kN/m (kilonewtons par mètre de poutre). Sur une longueur ℓ, elle pèse p·ℓ.

Quand la coupe avance sous une charge répartie, la partie gauche en contient un peu plus à chaque pas. Résultat :

1. T varie en ligne droite (en pente) : il gagne p à chaque mètre.
2. Mf varie en parabole : une courbe arrondie.
3. Le sommet de la parabole est là où T s'annule. C'est là que Mf est maximal.

Poutre sur deux appuis, charge p sur toute la longueur L. Réactions : Y_A = Y_B = pL/2. Coupe en x, partie gauche : Y_A et la charge p·x, appliquée à x/2 de A.

Comparaison utile : la même charge totale pL, mais concentrée au milieu, donnerait FL/4 = pL²/4, soit deux fois plus de moment. Répartir une charge soulage la poutre.

Imagine que le diagramme de Mf est le profil d'une randonnée. Alors T est lié à la pente du chemin : avec la convention du polycopié, la pente de Mf vaut −T. Quand T est négatif, Mf monte ; quand T est positif, Mf descend ; quand T s'annule (ou change de signe), Mf passe par un sommet : c'est là que se trouve la section la plus sollicitée en flexion. Exception à connaître : pour une console, T ne s'annule pas ; le maximum de |Mf| est en bout de diagramme, à l'encastrement.

Et de même, la charge répartie donne la pente de T : sous une charge répartie p vers le bas, T monte de p par mètre ; sans charge répartie, T est plat.

Le lien par les aires : la variation de Mf entre deux points est égale à moins l'aire du diagramme de T entre ces deux points. Pour une poutre sur deux appuis, Mf(x) = −(aire de T entre 0 et x). La manipulation te montre la tangente et l'aire en direct.

Isole une tranche de poutre entre x et x + dx, qui porte la charge répartie p_y·dx (p_y : composante selon y de la charge par mètre ; p_y = −p pour une charge p vers le bas). Elle reçoit, à droite, l'action de la matière de droite, {τ}_coh(x + dx), et, à gauche, l'action de la matière de gauche, −{τ}_coh(x). Son équilibre donne :

Conséquences pratiques : 1. Pas de charge répartie : T constant, Mf linéaire. 2. Charge répartie uniforme : T linéaire, Mf parabolique. 3. Mf est extrémal là où T s'annule ou change de signe. 4. En intégrant : Mf(x₂) − Mf(x₁) = −∫ T dx, moins l'aire de T entre x₁ et x₂ (∫ : le symbole d'intégrale, qui calcule une aire).

Les couples concentrés. Un couple C (sens trigonométrique) appliqué en x₀ ne change pas T, mais fait sauter le moment : ΔMf_z = −C. C'est le seul cas où Mf a une marche (voir le défi).

Le principe de superposition : en élasticité linéaire, les diagrammes de plusieurs charges s'additionnent. Une poutre avec une charge répartie et une charge ponctuelle a pour diagrammes la somme des deux cas types. Attention : on additionne les diagrammes point par point ; les maxima ne s'additionnent que s'ils sont au même endroit.

La méthode en cinq étapes : 1. Réactions d'appui (cours 6). 2. Découpage en tronçons (appuis, charges, débuts et fins de charges réparties, couples). 3. Sur chaque tronçon, N(x), T(x), Mf(x), en gardant le côté le plus simple. 4. Valeurs aux bornes des tronçons, et extremum de Mf là où T s'annule. 5. Tracé, avec les valeurs remarquables écrites sur le dessin.

Les cinq vérifications qui attrapent presque toutes les erreurs : T revient à 0 après le dernier appui ; chaque saut de T est égal à la charge ponctuelle correspondante ; Mf est nul aux extrémités libres et aux appuis d'extrémité (sauf couple appliqué) ; les extremums de Mf sont là où T change de signe, ou à un encastrement ; la pente de T sous une charge répartie vaut p.

Pour chaque exercice : réactions, tronçons, expressions, valeurs remarquables, tracé. Convention du polycopié : T_y = −ΣF_y(gauche), Mf_z = −ΣM_G(gauche). Le diagrammeur (manipulation 5) te permet de vérifier chaque tracé.