La courbe de fluage et ses mécanismes

Retourne un pot de miel sorti du réfrigérateur : il ne coule presque pas. Laisse-le tiédir : il s'écoule, lentement, sans qu'on le pousse davantage. Un métal chaud et chargé se comporte un peu de la même façon, en infiniment plus lent. Il ne casse pas d'un coup, il ne plie pas d'un coup : il s'allonge jour après jour sous une charge pourtant constante et modérée. C'est le fluage.

L'exemple-type du polycopié (p. 1) est l'aube de turbine à gaz : la force centrifuge la tire en permanence, à très haute température, et elle s'allonge lentement pendant toute sa vie. On en croise beaucoup d'autres :

• les tuyauteries de vapeur et les tubes de chaudière, qui gonflent sous la pression interne ;
• les gouttières et toitures en plomb des vieilles églises, qui s'affaissent en un siècle… à température ambiante ;
• les soudures étain-plomb des cartes électroniques, qui fluent dès qu'elles tiédissent ;
• les glaciers, de la glace qui flue à quelques degrés sous sa température de fusion.

Mais « chaud », c'est chaud par rapport à quoi ? Par rapport à la température de fusion du matériau, comptée en kelvins : le polycopié situe le fluage au-dessus d'environ 0,4 fois la température de fusion. Le plomb fond à 327 °C, soit 600 K : à 20 °C (293 K), il est déjà à 0,49 de sa fusion, aussi « chaud » qu'un acier à 600 °C. Le tungstène des filaments de lampe, lui, ne flue qu'au-delà de 1 200 °C.

Le fluage a un jumeau, la relaxation. Serre un boulon sur une bride chaude : son allongement est bloqué par les pièces serrées. Au fil des heures, une partie de sa déformation élastique se transforme en déformation de fluage : la tension du boulon baisse, et le serrage se perd. Fluage : on impose la force, l'allongement grandit. Relaxation : on impose l'allongement, la force baisse. Ce sont les mêmes mécanismes physiques (p. 1).

La température homologue

On appelle température homologue le rapport T/T_f entre la température de travail T et la température de fusion T_f, toutes deux en kelvins (K) :

Pour un acier, le fluage devient donc une préoccupation vers 400 à 450 °C : c'est là que les codes de construction des appareils à pression passent d'un dimensionnement sur la limite d'élasticité à un dimensionnement sur les propriétés de fluage hors poly.

Pourquoi T/T_f ? Parce que la diffusion ne regarde que lui hors poly

Le fluage a besoin que les atomes bougent : c'est la diffusion, dont le coefficient D (en m²/s) suit la loi d'Arrhenius D = D₀·exp(−Q/RT), où exp désigne la fonction exponentielle, Q l'énergie d'activation (J/mol) et R = 8,314 J/(mol·K). Or, pour les métaux, l'énergie d'activation de l'autodiffusion (la diffusion des atomes du métal dans leur propre réseau) vaut à peu près Q ≈ 18·R·T_f (corrélation empirique). D'où :

La distance parcourue par diffusion en un temps t vaut environ √(D·t). Sur un an (t ≈ 3,16 × 10⁷ s) : à 0,3 T_f, environ 0,005 nm, soit bien moins qu'un saut atomique ; à 0,4 T_f, environ 10 nm, une quarantaine de distances atomiques ; à 0,5 T_f, environ 1 µm ; à 0,6 T_f, environ 20 µm. Le seuil de 0,4 T_f est celui où les atomes commencent à se déplacer de quelques dizaines de rangs par an : peu, mais assez pour débloquer les dislocations (chapitre 4).

Les vitesses de déformation

La vitesse de déformation, notée ε̇ (« epsilon point » : le point au-dessus d'une grandeur désigne sa dérivée par rapport au temps), est la quantité de déformation gagnée par seconde : ε̇ = dε/dt, en s⁻¹. Le polycopié (p. 1) cite deux extrêmes : de l'ordre de 1 s⁻¹ dans le formage à chaud (forgeage, laminage), et moins de 10⁻¹⁰ s⁻¹ pour les pièces en service, qui accumulent quelques pour cent de déformation en plusieurs dizaines d'années.

Fluage et relaxation, une seule équation

Dans le boulon, la déformation totale reste fixe. Elle est la somme d'une part élastique σ/E et d'une part de fluage ε_f :

Comme la vitesse de fluage diminue fortement quand la contrainte baisse (chapitre 3), la relaxation est rapide au début puis ralentit : la contrainte ne tombe jamais tout à fait à zéro. La manipulation 1 le montre : dans le même acier, à 550 °C et 200 MPa de départ, le tirant chargé par un poids rompt en moins de 500 h, tandis que le boulon ne rompt pas mais perd environ les trois quarts de son serrage.

Pour mesurer le fluage, on place une éprouvette de traction dans un four réglé à température constante, on y accroche une charge constante (souvent un poids au bout d'un bras de levier), et un extensomètre enregistre son allongement. Pendant des heures… ou des dizaines de milliers d'heures. La courbe de la déformation ε en fonction du temps t raconte toujours la même histoire en trois actes (polycopié, p. 1, figure 1) :

• Acte I, le fluage primaire. Au début, la déformation est rapide, puis elle ralentit : le métal se durcit, ses dislocations s'enchevêtrent.
• Acte II, le fluage secondaire. La vitesse se stabilise à sa valeur la plus faible, la vitesse minimale : la courbe ε(t) devient une droite. Durcissement et adoucissement s'équilibrent (chapitre 4).
• Acte III, le fluage tertiaire. La vitesse repart à la hausse : des cavités apparaissent aux joints de grains, la section se réduit, la contrainte vraie augmente. La courbe s'envole jusqu'à la rupture.

Trace maintenant la vitesse de déformation ε̇, c'est-à-dire la pente de la courbe ε(t) : elle descend, reste au fond, puis remonte. C'est le profil d'une baignoire.

Les grandeurs extraites d'un essai (p. 2) : les durées et les déformations de chaque stade, la vitesse de déformation minimale ε̇_min (ou vitesse secondaire), la durée de vie t_r, la ductilité en fluage ε_r (déformation totale en fin de vie). Pour un matériau, on fournit souvent la contrainte de rupture par fluage en un temps et à une température donnés : par exemple la contrainte qui provoque la rupture en 100 000 h (≈ 11,4 ans) à 550 °C.

On peut décomposer la courbe en une somme de termes hors poly :

Exemple (manipulation 2, réglage « Tuyauterie ») : à 550 °C sous 70 MPa, l'acier modèle a ε̇_min ≈ 1,5 × 10⁻¹⁰ s⁻¹, soit environ 0,5 % par an, et rompt au bout de t_r ≈ 90 000 h, une dizaine d'années, après environ 15 % de déformation. Le stade I y dure environ 13 % de la vie, le stade II environ 45 %, le stade III environ 42 % : mais le stade III fournit les deux tiers de la déformation totale.

Charge constante ou contrainte constante ?

L'essai le plus simple impose une force constante (un poids). Mais quand l'éprouvette s'allonge, sa section diminue (le volume se conserve) : la contrainte vraie σ_vraie = F/S augmente, d'environ σ₀(1 + ε). Ce n'est pas la cause première du stade III, mais cela l'accélère. Certains bancs de laboratoire réduisent la charge au fil de l'essai pour maintenir la contrainte constante. Les essais de fluage des métaux en traction sont normalisés (NF EN ISO 204) hors poly.

On distingue enfin l'essai de fluage, qui enregistre toute la courbe ε(t), et l'essai de rupture par fluage, qui ne note que t_r (et parfois ε_r) : plus simple, il permet de multiplier les éprouvettes.

Pour qu'un atome change de place, ou qu'une dislocation franchisse un obstacle, il faut passer une barrière d'énergie, comme une colline. L'énergie nécessaire s'appelle l'énergie d'activation, notée Q. D'où vient-elle ? De l'agitation thermique : les atomes vibrent sans cesse, et de temps en temps, par hasard, une vibration est assez forte pour passer la colline.

Imagine qu'il faille faire un double six aux dés pour sauter. Chauffer, c'est piper les dés : la chance de réussir grimpe exponentiellement. Physiquement, la probabilité qu'une vibration dépasse Q vaut exp(−Q/RT) : c'est le facteur de Boltzmann, où T est la température absolue en kelvins. Quelques degrés de plus, et les sauts deviennent nettement plus fréquents. On dit que le fluage est thermiquement activé (polycopié, p. 2).

La contrainte, elle, penche le terrain : en tirant, on aide les sauts dans le bon sens. Le polycopié résume les deux effets par l'équation de Norton, qui décrit la vitesse du stade secondaire :

Plus la contrainte et la température sont élevées, plus la déformation est rapide : l'équation, bien que partiellement empirique, traduit ces tendances (p. 2).

ε̇₀

vitesse de référence (s⁻¹), une constante du matériau ;

μ

module de cisaillement (« mu », en MPa), l'équivalent du module d'Young en cisaillement : μ = E/(2(1 + ν)) ≈ 0,38 E pour un métal (ν ≈ 0,3, coefficient de Poisson). Diviser σ par μ rend la contrainte sans dimension et compare des métaux différents ;

n

exposant de contrainte, sans dimension ;

Q

énergie d'activation apparente du phénomène (J par atome si l'on écrit kT, J/mol si l'on écrit RT) ;

k, R

constante de Boltzmann, 1,381 × 10⁻²³ J/K ; constante des gaz parfaits, 8,314 J/(mol·K) ;

T

température absolue, en kelvins.

Dans une plage de température modérée, μ varie peu : on regroupe alors les constantes et l'on écrit la forme pratique hors poly, avec Q en J/mol :

Deux droites pour tout mesurer

Prenons le logarithme népérien ln (la fonction réciproque de l'exponentielle) : ln ε̇ = ln B + n·ln σ − Q/(RT). Deux conséquences :

• à température fixée, ln ε̇ est une droite de pente n en fonction de ln σ ;
• à contrainte fixée, ln ε̇ est une droite de pente −Q/R en fonction de 1/T : c'est le diagramme d'Arrhenius.

D'où les formules pour dépouiller deux essais :

Exemple (acier modèle). À 550 °C, 80 MPa donne 3,00 × 10⁻¹⁰ s⁻¹ et 120 MPa donne 2,28 × 10⁻⁹ s⁻¹ : n = ln(7,59)/ln(1,5) = 2,027/0,405 = 5,0. Sous 100 MPa, 550 °C (823,15 K) donne 9,17 × 10⁻¹⁰ s⁻¹ et 600 °C (873,15 K) donne 1,13 × 10⁻⁸ s⁻¹ : Q = 8,314 × ln(12,3)/(1/823,15 − 1/873,15) = 8,314 × 2,51/(6,96 × 10⁻⁵) ≈ 300 kJ/mol.

La forme « glissement » du polycopié

Pour le glissement thermiquement activé (p. 4), la contrainte abaisse directement la barrière, du travail mécanique b·σ_e·A fourni par la force sur la dislocation :

Rappelle-toi la ride dans le tapis : une dislocation coin est un demi-plan d'atomes en trop, glissé dans le cristal. Sous l'effet d'un cisaillement, elle avance dans son plan de glissement, rang après rang. À froid, quand elle rencontre un obstacle (un précipité, une autre dislocation), elle s'arrête : elle ne sait que glisser dans son plan. Les dislocations s'accumulent, s'enchevêtrent, et le métal durcit. C'est l'écrouissage.

À chaud, deux portes s'ouvrent (polycopié, p. 2) :

• le glissement thermiquement activé : l'agitation thermique donne à la dislocation les « coups de pouce » qui l'aident à franchir les obstacles faibles ;
• la montée : une lacune vient se loger au bas du demi-plan en trop, un atome du bord de ce demi-plan saute dans la lacune, et le demi-plan raccourcit d'un atome. La dislocation « monte » d'un cran, quitte son plan, et peut passer par-dessus l'obstacle, puis glisser à nouveau.

La montée a besoin de lacunes, donc de diffusion : voilà pourquoi elle ne joue qu'au-dessus de 0,4 T_f environ. Glissement et montée coexistent : on parle de fluage-dislocations.

Pendant le fluage, deux équipes tirent en sens contraire sur la contrainte interne σ_i, la résistance que la forêt de dislocations oppose à la déformation :

• le durcissement : chaque pas de déformation crée de nouvelles dislocations, qui s'enchevêtrent ; σ_i monte ;
• la restauration : avec le temps, grâce à la montée, les dislocations se réarrangent en parois et celles de signes opposés s'annihilent ; σ_i descend.

Au début, le métal est « mou » : la déformation va vite, le durcissement gagne, σ_i grimpe et la vitesse chute. C'est le stade primaire. Puis les deux équipes s'équilibrent : σ_i se stabilise, la vitesse aussi. C'est le stade secondaire. Les dislocations s'y organisent en cellules et en sous-grains : des parois denses autour de zones presque vides (p. 3, figure 3). Cette sous-structure paraît figée, mais elle est dynamique : multiplication, empilement et annihilation s'y équilibrent sans cesse.

Le bilan durcissement-restauration

La contrainte interne évolue pour deux raisons : la déformation la fait monter, le temps (la restauration) la fait baisser. On l'écrit avec des dérivées partielles, notées ∂ (« d rond ») : la variation d'une grandeur par rapport à une variable, toutes les autres étant figées.

Au stade secondaire, la sous-structure est stable : dσ_i/dt = 0 (p. 4). D'où :

Exemple. Avec h = 5 000 MPa et r = −5,0 × 10⁻⁶ MPa/s : ε̇ = 5,0 × 10⁻⁶/5 000 = 1,0 × 10⁻⁹ s⁻¹, soit environ 3,2 % par an. Si la restauration est trois fois plus rapide (température plus haute), la vitesse triple ; si des précipités la ralentissent dix fois, la vitesse est divisée par dix.

Ce que disent les modèles

Divers modèles de fluage-dislocations conduisent presque tous à des équations du type (p. 4) :

Pour le fer α (ferrite), l'énergie d'activation de l'autodiffusion vaut environ 250 kJ/mol : mesurer Q ≈ 250 kJ/mol en fluage, c'est signer un fluage contrôlé par la montée hors poly.

Les cellules et les sous-grains

Au stade secondaire, la taille des cellules est d'autant plus petite que la contrainte est élevée (p. 3). Les mesures donnent une taille inversement proportionnelle à la contrainte, de l'ordre de 10 à 20 fois μb/σ hors poly : pour un acier à 550 °C (μ ≈ 64 GPa, b ≈ 0,25 nm) sous 70 MPa, quelques micromètres.

À très haute température et sous faible contrainte, les dislocations bougent à peine. Le métal flue pourtant encore : ce sont les atomes eux-mêmes qui se déplacent, un à un, par diffusion. C'est le fluage-diffusion (polycopié, p. 3 et 5).

Regarde un grain tiré verticalement. Sur ses faces du haut et du bas, la traction écarte les atomes : il y est plus facile de créer des lacunes. Sur ses faces latérales, non tirées, il y en a moins. Ce déséquilibre fait diffuser les lacunes des faces tirées vers les flancs… et donc les atomes en sens inverse, des flancs vers les faces tirées. Comme une colonne de fourmis qui viderait les côtés pour empiler sur le dessus et le dessous : le grain s'allonge dans le sens de la traction et s'amincit.

Les atomes ont deux chemins :

• à travers le grain, par diffusion en volume : c'est le fluage de Nabarro (ou Nabarro-Herring), aux plus hautes températures ;
• le long des joints de grains, de véritables couloirs où la diffusion est plus facile : c'est le fluage de Coble, qui domine à température plus basse.

Deux conséquences à retenir : la vitesse est proportionnelle à la contrainte (n = 1, comme l'écoulement d'un liquide visqueux), et elle augmente très fort quand les grains sont petits, puisque le chemin à parcourir est plus court.

Pour un grain de taille d sous une traction uniaxiale, le polycopié donne (p. 5), le signe ∝ signifiant « proportionnel à » :

d

taille de grain (m) ;

δ

« épaisseur » des joints de grains (« delta »), environ deux distances atomiques, soit 0,5 nm ;

b³

volume d'un atome (b, ici distance interatomique, voir la remarque de lecture 2) ;

D_j, Q_Dj

coefficient d'autodiffusion du métal aux joints (m²/s) et son énergie d'activation ;

D, Q_D

coefficient d'autodiffusion en volume et son énergie d'activation ; D₀ et D_j0 sont les facteurs pré-exponentiels.

Dans les deux cas, la vitesse augmente quand la taille de grain diminue, avec un exposant différent (p. 5) : d⁻² pour Nabarro, d⁻³ pour Coble. Et dans les deux cas, ε̇ ∝ σ : l'exposant de contrainte vaut n = 1.

Pourquoi d² et d³ ? hors poly

Le flux d'atomes est poussé par une différence de concentration en lacunes, proportionnelle à σ, sur une distance de l'ordre de d : il varie comme D·σ/d. Pour allonger le grain (de volume d³) d'une fraction ε, il faut déplacer un volume de matière proportionnel à ε·d³, à travers une section de l'ordre de d² quand la diffusion passe par le volume : ε̇·d³ ∝ (Dσ/d)·d², d'où ε̇ ∝ Dσ/d². Le long des joints, la section offerte n'est plus d² mais δ·d, une fine couche : on perd un facteur d/δ, d'où ε̇ ∝ D_jδσ/d³.

Qui l'emporte, Nabarro ou Coble ? hors poly

Avec les coefficients numériques usuels, le rapport des deux vitesses vaut :

Exemple (métal modèle de la manipulation 6, à 0,7 T_f) : D ≈ 1,0 × 10⁻¹⁶ m²/s et δD_j ≈ 3,7 × 10⁻²⁰ m³/s, d'où d* = π × 3,7 × 10⁻²⁰/1,0 × 10⁻¹⁶ ≈ 1,2 × 10⁻³ m : jusqu'à des grains de 1 mm, c'est Coble qui domine. À 0,9 T_f, d* tombe à environ 30 µm : un grain de 100 µm flue alors surtout par Nabarro.

Les mécanismes des chapitres 4 et 5 ne s'excluent pas : ils fonctionnent en même temps, et leurs vitesses s'ajoutent. Mais leurs vitesses diffèrent souvent de plusieurs ordres de grandeur : en pratique, le plus rapide gagne et fixe le comportement.

Pour savoir qui gagne, on dessine une carte (polycopié, p. 3, figure 4). En abscisse, la température homologue T/T_f ; en ordonnée, la contrainte réduite σ/μ, en échelle logarithmique. La carte se découpe en provinces :

• tout en haut, au-delà de σ/μ ≈ 10⁻², le glissement des dislocations : la contrainte dépasse la limite d'élasticité, c'est la plasticité ordinaire ;
• en bas à gauche, le domaine élastique : trop froid, ou pas assez chargé, rien ne bouge à l'échelle d'une vie ;
• à chaud et sous contrainte moyenne, le fluage-dislocations (chapitre 4) ;
• à chaud et sous faible contrainte, le fluage-diffusion : Coble aux températures moyennes, Nabarro tout près de la fusion (chapitre 5).

Lire la carte, c'est situer sa pièce puis en déduire la bonne loi : n de 3 à 8 ou n = 1, sensibilité forte ou nulle à la taille de grain, énergie d'activation de la diffusion en volume ou aux joints.

Comment on la construit hors poly

Pour chaque point (T/T_f, σ/μ), on calcule la vitesse de chaque mécanisme avec sa loi (chapitres 3 à 5) ; le mécanisme dont la vitesse est la plus grande donne sa couleur au point. Une frontière est la ligne où deux mécanismes ont la même vitesse. La frontière du domaine élastique est conventionnelle : c'est la ligne où la vitesse totale atteint un seuil jugé négligeable, par exemple 10⁻¹⁰ s⁻¹ (0,3 % par an). Changer ce seuil déplace la frontière : « élastique » veut dire « trop lent pour compter à l'échelle du service ».

Quelques frontières se lisent directement dans les lois :

• fluage-dislocations / Nabarro : les deux vitesses sont proportionnelles au même coefficient D, qui disparaît du rapport ; la frontière est donc presque horizontale ;
• Nabarro / Coble : le rapport ne dépend pas de σ ; la frontière est verticale, à la température où d* = d ;
• des grains plus fins étendent les deux provinces du fluage-diffusion vers le haut, Coble surtout.

Les leviers pour résister au fluage hors poly

Les aciers résistant au fluage, en ordres de grandeur hors poly

Ces températures ne sont que des repères : le choix d'une nuance se fait sur les valeurs de fluage des normes de produits et sur les règles du code de construction. Le sujet 2.12 de la formation (aciers résistant au fluage) les détaille.

Cherche chaque question sur papier avant d'ouvrir la correction. Écris la formule littérale, puis les valeurs avec leurs unités. Données utiles : R = 8,314 J/(mol·K) ; 1 an ≈ 3,16 × 10⁷ s ≈ 8 766 h. Les manipulations 1, 2, 3, 5, 6 et 7 permettent de vérifier tes résultats ; le défi se rejoue entièrement dans la manipulation 2.