Ténacité et défauts : K_IC, CTOD, J et diagramme FAD

Charge progressivement une pièce fissurée : le facteur d'intensité K = σY√a augmente avec la contrainte (cours 3). À un certain moment, la matière de la pointe ne tient plus et la fissure se propage brutalement. La valeur de K à cet instant est une propriété du matériau : le facteur d'intensité de contrainte critique, ou ténacité, noté K_IC (I pour le mode I d'ouverture, C pour critique ; polycopié, p. 22).

C'est une balance : sur un plateau, ce que la structure impose à la fissure ; sur l'autre, ce que le matériau peut encaisser. Elle s'utilise dans trois sens :

• je connais le défaut, je cherche la contrainte admissible : σ_r = K_IC/(Y√a) ;
• je connais la contrainte, je cherche la taille critique du défaut : a_c = (K_IC/(Yσ))² ;
• je connais les deux, je cherche le matériau : il faut K_IC > σY√a, avec une marge.

Valeurs du polycopié, p. 22.

Exemple. Acier de K_IC = 80 MPa·√m, fissure débouchante (Y = 1,99), σ = 200 MPa : a_c = (80/(1,99 × 200))² = 0,201² = 0,0404 m ≈ 40 mm. Avec un défaut de 5 mm : σ_r = 80/(1,99 × √0,005) ≈ 569 MPa, au-dessus de R_e : la pièce plastifierait avant de casser.

Conséquence importante (polycopié, p. 22) : la contrainte de rupture d'une pièce fissurée n'est pas une propriété du matériau. Elle dépend de sa ténacité (propriété du matériau) et de la taille des défauts (propriété de la fabrication).

Résistance et ténacité : le grand compromis

Le diagramme d'Ashby du polycopié (p. 23) place les matériaux selon leur ténacité K_C et leur limite d'élasticité σ_y. Des polymères aux aciers, les deux augmentent ensemble ; les céramiques, résistantes mais peu tenaces, font exception. Les droites diagonales du diagramme, notées K_C²/(πσ_y²) = 0,1 mm, 1 mm, 10 mm, 100 mm, ont un sens simple hors poly : c'est la taille de défaut (demi-longueur d'une fissure centrale) pour laquelle rupture et plastification arrivent ensemble. Au-dessous, le matériau plastifie d'abord ; au-dessus, il casse avant de plastifier. Un acier de construction tolère des défauts de plusieurs centimètres, une céramique moins d'un dixième de millimètre.

Mais à l'intérieur d'une même famille, résistance et ténacité varient en sens inverse : en durcissant un acier par trempe ou par précipitation, on relève sa limite d'élasticité et l'on abaisse sa ténacité (polycopié, p. 23, second graphique). Ces effets tiennent à l'aptitude du matériau à se déformer plastiquement en fond de fissure, pour en « lisser » l'effet (p. 24).

La contrainte infinie prévue par l'élasticité à la pointe d'une fissure n'existe pas : dès qu'elle dépasse R_e, la matière plastifie dans une petite zone plastique de taille r_Y, qui « émousse » la fissure (polycopié, p. 26, figure 31). Mais cette zone n'a pas la même taille partout le long du front de fissure (figure 32).

• Près des surfaces libres de la pièce, rien n'empêche la matière de s'amincir : c'est l'état de contrainte plane. Elle glisse facilement, à 45° (cours 1) : la zone plastique est grande, et la cassure y forme des lèvres de cisaillement obliques (figure 24).
• Au cœur d'une pièce épaisse, la matière ne peut pas s'amincir, retenue par celle qui l'entoure : c'est la déformation plane. L'état est triaxial, le glissement est bridé, la zone plastique est environ trois fois plus petite, et la rupture s'ouvre à plat (figure 25).

Comme dans un sandwich qu'on écrase : les tranches de pain s'écrasent librement, la garniture, coincée, ne peut pas fuir. Plus le sandwich est épais, plus la garniture domine. Une tôle mince est presque entièrement en contrainte plane : elle plastifie beaucoup et paraît très tenace. Une tôle épaisse est surtout en déformation plane : elle résiste moins à la propagation. La ténacité « vraie », la plus faible, est celle de la déformation plane : c'est K_IC.

Devant la pointe, la contrainte d'ouverture vaut K/√(2πr) (cours 3). On cherche où elle atteint la limite de plasticité : R_e en contrainte plane, √3·R_e en déformation plane, où la triaxialité relève le seuil (convention d'Irwin, polycopié p. 26 et 27) :

Exemple. K_IC = 50 MPa·√m, R_e = 500 MPa : (K/R_e)² = 0,01 m. En contrainte plane, r_Y = 0,01/(2π) = 1,6 mm ; en déformation plane, 0,01/(6π) = 0,53 mm.

Pour qu'une éprouvette (ou une pièce) soit majoritairement en déformation plane, sa part en contrainte plane près des faces doit rester négligeable. La condition normalisée s'écrit (polycopié, p. 27) :

Pour l'exemple : B ≥ 2,5 × 0,01 = 0,025 m = 25 mm. Pour un acier de construction très tenace (K_IC = 150 MPa·√m, R_e = 355 MPa) : 2,5 × (150/355)² = 0,45 m, soit 45 cm d'épaisseur ! On ne mesure pas un tel K_IC : on passe au CTOD ou à J (chapitre 5).

Le principe est simple (polycopié, p. 24) : on usine dans le matériau une entaille de longueur a connue, dans une éprouvette dont le facteur Y est connu ; on la charge en mode I jusqu'à la rupture ; la force de rupture donne K_IC = σ_rY√a. Trois éprouvettes sont courantes (figure 29) :

• la SENT (single edge notched tension, entaillée sur un bord et tirée) ;
• la SENB (single edge notched bending, entaillée sur un bord et fléchie), en flexion trois ou quatre points ;
• la CT (compact tension, compacte de traction) : un bloc fendu, ouvert par deux goupilles, comme une pince qu'on écarte.

Trois précautions font toute la difficulté :

1. Une vraie fissure, pas une entaille. Une entaille usinée a un rayon en fond ρ trop grand : la ténacité « mesurée » serait faussée vers le haut (figure 33). On prolonge donc l'entaille par une préfissure de fatigue : quelques dizaines de milliers de cycles sous faible charge créent une fissure parfaitement aiguë (p. 28).
2. Peu de plasticité. La courbe force-ouverture doit rester presque droite jusqu'à la rupture (figures 30 et 34).
3. Une éprouvette assez grande devant la zone plastique, en particulier assez épaisse pour la déformation plane (chapitre 2).

Si une seule condition n'est pas remplie, la valeur obtenue n'est qu'une ténacité provisoire, notée K_Q, et non K_IC.

Pour l'éprouvette CT (polycopié, figure 29), avec F la force, b l'épaisseur (notée B dans ce cours), w la largeur mesurée depuis l'axe des goupilles, et α = a/w :

Pour la SENB en flexion trois points (portée L = 4w), on calcule d'abord la contrainte nominale de flexion σ = 3FL/(2bw²), puis K = σY√a avec Y = 1,93 − 3,07α + 14,53α² − 25,11α³ + 25,80α⁴ (p. 25).

Exemple. CT de B = 25 mm, W = 50 mm, a = 25 mm, en acier trempé (R_e = 900 MPa) ; F_Q = 30 kN. K_Q = 30 000/(25 × √50) × 9,66 = 169,7 × 9,66 = 1 639 N·mm^−3/2 = 51,8 MPa·√m. Validité : 2,5 × (51,8/900)² = 0,0083 m = 8,3 mm, inférieur à B, a et W − a (25 mm) ✅ ; si F_max ≤ 1,1 F_Q ✅, alors K_IC = 51,8 MPa·√m.

Les conditions de validité (polycopié, p. 27 à 29)

Les normes d'essai sont l'ASTM E399 et l'ISO 12135 hors poly. Pour l'acier très tenace du chapitre 2 (K_IC ≈ 150 MPa·√m, R_e = 355 MPa), il faudrait une éprouvette d'environ 45 cm d'épaisseur : en pratique, on ne mesure jamais un K_IC valide sur un acier de construction à température ambiante. C'est la raison d'être du CTOD et de l'intégrale J (chapitre 5).

Une pièce chargée stocke de l'énergie élastique, comme un arc bandé ou un ressort comprimé. Quand une fissure s'allonge, la pièce devient plus souple : une partie de cette énergie se libère. Griffith (cours 3) a eu l'idée de faire le bilan : la fissure avance si l'énergie libérée suffit à « payer » la création des nouvelles surfaces (polycopié, p. 29 à 33).

L'énergie libérée par mètre carré de fissure nouvelle s'appelle le taux de restitution de l'énergie G (en J/m²). Elle existe pour tout chargement, même avant la rupture : c'est la « force motrice » de la fissure, comme K. Quand G atteint une valeur critique G_IC, l'énergie qu'il faut pour rompre, la fissure se propage. G_IC est, comme K_IC, une propriété du matériau (p. 33).

Pour un verre, G_IC vaut à peine plus que l'énergie des deux surfaces créées, quelques J/m². Pour un acier, la pointe plastifie et l'énergie dissipée se compte en dizaines de milliers de J/m² : c'est la plasticité qui fait la ténacité des métaux. Et G et K disent la même chose, d'une autre façon : G = K²/E (à un facteur 1 − ν² près).

Le bilan (polycopié, p. 30) : le travail δW fourni par les forces extérieures pendant que la fissure gagne l'aire δS se partage entre la variation d'énergie élastique stockée δU_e et l'énergie de rupture δU_r :

L'équivalence de G et K, établie par George Irwin en refermant virtuellement la fissure sur une petite longueur (p. 35 à 37) :

La céramique et le polymère ont la même ténacité K_IC : à défaut et géométrie égaux, ils cassent sous la même force. Mais le polymère, deux cents fois plus souple, absorbe deux cents fois plus d'énergie avant de rompre.

Le polycopié distingue trois situations (p. 38, figure 41) :

• la mécanique linéaire élastique de la rupture (MLER) : zone plastique minuscule, K et K_IC suffisent ;
• la plasticité confinée : zone plastique petite mais non négligeable ; on corrige la MLER en allongeant fictivement la fissure ;
• la plasticité étendue : la zone plastique est comparable à la fissure ou au ligament ; c'est le cas des aciers de construction et de leurs soudures à température ambiante. Il faut d'autres outils.

Dans un acier tenace, la pointe de fissure ne reste pas aiguë sous charge : elle s'émousse, s'arrondit et s'ouvre, comme la gueule d'un crocodile. L'ouverture de ce fond de fissure, de l'ordre du dixième de millimètre, se mesure : c'est le CTOD (en anglais crack tip opening displacement, déplacement d'ouverture en fond de fissure). Plus l'acier est tenace, plus la fissure s'ouvre avant d'avancer.

Ensuite, la fissure avance par déchirure ductile (les cupules du cours 1), et il faut de plus en plus d'énergie pour la faire avancer encore : la résistance croît avec l'avancée. On la décrit par une courbe de résistance, ou courbe R, en fonction de l'intégrale J, une généralisation de l'énergie G aux matériaux qui plastifient.

Plasticité confinée : allonger la fissure

Irwin plafonne la contrainte à R_e dans la zone plastique et décale le champ pour conserver l'effort transmis : tout se passe comme si la fissure était plus longue de r_Y (polycopié, p. 39 et 40). Dugdale et Barenblatt modélisent la zone plastique par une bande de longueur r_p où règne R_e ; pour σ ≪ R_e, r_p ≈ (a/2)(πσ/(2R_e))² (p. 41). Les deux corrections donnent des résultats comparables :

Le CTOD (annexe du polycopié)

Exemple. K = 60 MPa·√m, R_e = 400 MPa, E = 210 GPa, m = 1,5 : δ = (60 × 10⁶)² × 0,91/(1,5 × 400 × 10⁶ × 210 × 10⁹) = 2,6 × 10⁻⁵ m = 0,026 mm. Inversement, un CTOD exigé de 0,25 mm correspond à un K équivalent d'environ 186 MPa·√m : une valeur qu'aucun essai de K_IC valide ne pourrait mesurer sur un acier de construction.

On ne mesure pas δ directement. L'essai CTOD (une éprouvette SENB fléchie en trois points, souvent de pleine épaisseur) mesure l'ouverture à l'embouchure de l'entaille, le CMOD (crack mouth opening displacement), avec un capteur à lames (extensomètre) ; une relation, qui dépend de la géométrie et de l'écrouissage du matériau, en déduit le CTOD (annexe).

L'intégrale J (polycopié, p. 41 à 44)

J est une intégrale calculée sur un contour Γ qui entoure la pointe, d'une lèvre à l'autre ; elle a la propriété d'être indépendante du contour choisi. C'est l'énergie qui « s'écoule » vers la pointe quand la fissure avance, par unité d'aire : en élasticité, J = G. Elle se mesure par la différence d'énergie de deux éprouvettes de fissures légèrement différentes (figure 44), et se trace en fonction de l'avancée de fissure Δa : c'est la courbe de résistance J (figure 46). Sa partie initiale correspond à l'émoussement ; on trace une droite parallèle à cette « droite d'émoussement », décalée de 0,2 mm, et son intersection avec la courbe donne J_IC, la valeur d'amorçage de la déchirure.

Une pièce fissurée peut ruiner de deux façons (polycopié, p. 45) :

• par rupture : la fissure se propage, quand K atteint la ténacité K_mat du matériau. C'est le domaine de la mécanique de la rupture ;
• par effondrement plastique : la section restante, affaiblie par le défaut, plastifie tout entière. C'est le domaine de la plasticité.

Dans un monde idéal, il suffirait de vérifier les deux séparément : K < K_mat et σ < σ_y (la limite d'élasticité), soit un rectangle de sécurité (figure 48). Mais les deux mécanismes interagissent : la plasticité en pointe de fissure accélère la rupture, et la fissure affaiblit la section. Le rectangle s'arrondit (figure 50).

On trace donc une carte en coordonnées réduites : en ordonnée, K_r = K/K_mat, la proximité de la rupture ; en abscisse, L_r = σ_ref/σ_y, la proximité de l'effondrement. Une courbe, la ligne d'évaluation de la défaillance, délimite la zone sûre (p. 47). Le défaut, avec sa charge, est un point : à l'intérieur, il est acceptable ; dehors, il ne l'est pas. Et si l'on augmente la charge, le point s'éloigne de l'origine sur une droite : un grand défaut atteint la ligne par le haut (rupture), un petit défaut par la droite (effondrement plastique).

La contrainte de référence. Pour une plaque de largeur w contenant un défaut de taille a, la section portante est réduite à w − a : la contrainte moyenne y est plus forte d'un facteur w/(w − a), et la plastification généralisée arrive dès σ_nom = σ_y(w − a)/w (polycopié, p. 46). Pour la fissure centrale 2a de la manipulation, σ_ref = σ·W/(W − 2a). Dans les cas réels, σ_ref se calcule par des formules normalisées ou par simulation numérique (p. 47).

Exemple. W = 200 mm, 2a = 20 mm, σ = 150 MPa, K_mat = 80 MPa·√m, S355. K = 150 × √(π × 0,01) = 26,6 MPa·√m (×1,006 pour la largeur finie) : K_r = 26,8/80 = 0,33. σ_ref = 150 × 200/180 = 167 MPa, L_r = 167/355 = 0,47. La ligne vaut 0,94 à cette abscisse : le point est largement à l'intérieur, acceptable.

Contraintes primaires et secondaires

Les contraintes primaires viennent des charges extérieures ; elles comptent dans K_r et dans L_r. Les contraintes secondaires, comme les contraintes résiduelles de soudage ou thermiques, s'autolimitent : elles ne peuvent pas provoquer à elles seules l'effondrement d'une section. Elles comptent donc dans K_r seulement. À l'état brut de soudage, on suppose souvent des résiduelles égales à la limite d'élasticité ; après détensionnement, une fraction (de l'ordre de 20 à 30 %). Sur l'exemple, les résiduelles brutes de soudage portent K_r de 0,33 à (150 + 355) × 0,1784/80 = 1,13 : le défaut n'est plus acceptable ; détensionné (0,3 σ_y), K_r redescend à 0,57.

Quelle ténacité ? hors poly

Idéalement, un essai de ténacité (K_IC, CTOD ou J) à la température de service, dans la zone du défaut. À défaut, les règles d'évaluation admettent des corrélations avec l'essai Charpy, prudentes. La plus utilisée passe par la courbe maîtresse des aciers ferritiques (norme ASTM E1921) : on estime la température de référence T₀ ≈ T_27J − 18 °C, puis, pour une épaisseur de 25 mm :

Pour T_27J = −40 °C et un service à −10 °C : T₀ = −58 °C, exp[0,019 × 48] = 2,49, d'où K_{5 %} = 25,4 + 37,8 × 2,49 ≈ 119 MPa·√m.

Cherche chaque question sur papier avant d'ouvrir la correction. Écris la formule littérale, puis les valeurs avec leurs unités. Les manipulations 1, 2, 3, 5 et 6 permettent de vérifier tes résultats ; le défi se refait entièrement dans la manipulation 6.