Du défaut à la fissure : K_t, Griffith et le facteur K

Imagine deux rangées de personnes face à face, chacune tenant la main de celle d'en face. Pour séparer les deux rangées d'un seul coup, il faut tirer assez fort pour que toutes les mains lâchent en même temps. Chaque poignée de main résiste un peu ; des milliards de poignées de main résistent énormément.

Dans un cristal, les atomes sont rangés en plans réguliers, liés à leurs voisins par des liaisons qui se comportent comme de petits ressorts (polycopié, p. 12 et 13, figure 18). Tire sur deux plans voisins : les ressorts s'allongent, la force de rappel augmente, passe par un maximum, puis s'effondre quand les liaisons cèdent. Ce maximum, ramené à la surface, est la résistance théorique σ_th du cristal : la contrainte qu'il faudrait pour séparer deux plans atomiques d'un bloc.

Le calcul (niveau 2) donne une valeur énorme : de l'ordre de E/5 à E/10, soit 20 à 40 GPa pour un acier, quarante à cent fois sa résistance réelle. Les matériaux réels cassent en fait vers E/100 à E/1 000 (polycopié, p. 14). Quelque chose les affaiblit énormément : les défauts. Une fissure ne sépare pas les plans d'un bloc ; elle les décolle un par un, comme on ouvre une fermeture éclair, en concentrant l'effort sur les quelques liaisons de sa pointe.

La preuve expérimentale est ancienne : vers 1920, l'ingénieur britannique Alan Arnold Griffith étire des fibres de verre de plus en plus fines et constate qu'elles sont de plus en plus résistantes. Moins de matière, moins de place pour un défaut dangereux. Les fibres fraîchement étirées et les « trichites » (en anglais whiskers, des cristaux filiformes presque parfaits) approchent la résistance théorique.

x₀

paramètre de maille : distance d'équilibre entre deux plans atomiques, en m (environ 0,25 nm pour le fer)

U

énergie potentielle d'interaction entre deux atomes, minimale à l'équilibre (x = x₀) ; la force entre atomes vaut F = dU/dx (polycopié, p. 13)

γ_s

« gamma s » : énergie de surface, l'énergie qu'il faut dépenser pour créer 1 m² de surface nouvelle en rompant les liaisons, en J/m²

λ

« lambda » : longueur de l'arche de sinusoïde, l'écartement au bout duquel les liaisons sont rompues

La force F sur chaque atome de surface, répartie sur l'aire x₀² qu'il occupe, donne σ = F/x₀². On approche la partie utile de la courbe par une arche de sinusoïde (figure 19) :

Première équation, l'énergie. Rompre crée deux surfaces : le travail dépensé, l'aire sous l'arche, vaut 2γ_s :

Seconde équation, l'élasticité. Aux petits écartements, sin u ≈ u et la loi de Hooke s'applique, avec la déformation ε = (x − x₀)/x₀ :

En reportant λ dans γ_s = σ_thλ/π, on obtient γ_s = σ_th²x₀/E, d'où (polycopié, p. 14) :

Exemple. Fer : E = 210 GPa, γ_s ≈ 2 J/m², x₀ ≈ 0,25 nm : σ_th = √(210 × 10⁹ × 2/(0,25 × 10⁻⁹)) = √(1,68 × 10²¹) ≈ 41 GPa, soit E/5. Un acier de construction casse vers 0,5 GPa : quatre-vingts fois moins.

Imagine la force transmise par une plaque tendue comme un courant d'eau : des lignes de force parallèles qui vont d'un bout à l'autre. Perce un trou : les lignes qui le traversaient doivent le contourner. Elles se serrent sur ses flancs, là où la matière restante doit porter leur part en plus de la sienne. Comme l'eau d'un fleuve qui accélère en contournant une pile de pont.

Là où les lignes se serrent, la contrainte monte. Le rapport entre la contrainte maximale locale et la contrainte « normale » de la pièce est le facteur de concentration de contrainte K_t (polycopié, p. 14, figure 20). Trois résultats à connaître :

• un trou rond dans une grande plaque triple la contrainte sur ses flancs : K_t = 3, quelle que soit sa taille ;
• un trou elliptique couché en travers de l'effort concentre d'autant plus qu'il est allongé : K_t = 1 + 2a/b ;
• à la limite, une fissure est une ellipse infiniment aplatie : K_t tend vers l'infini.

Ce n'est donc pas la taille d'un défaut qui fait K_t, c'est sa forme : sa finesse en travers de l'effort. Une rayure fine est plus sévère qu'un gros trou rond.

La seconde forme est la plus parlante : K_t dépend du rapport entre la taille a du défaut et le rayon de courbure ρ (« rhô ») de sa pointe. Pour un cercle, a = b = ρ et K_t = 3. K_t augmente quand a augmente (défaut plus long) et quand ρ diminue (pointe plus fine), et tend vers l'infini quand ρ tend vers zéro (polycopié, p. 15).

Où règne le pic ? hors poly La surcontrainte est très localisée : elle s'étend sur une distance de l'ordre de ρ autour du bord. Un trou rond « fait sentir » sa présence à une distance de l'ordre de son rayon ; une entaille fine concentre une contrainte très élevée dans un volume minuscule (manipulation 2).

Quelle contrainte nominale ?

Le polycopié prend la contrainte loin du trou, rapportée à la section brute : σ_nom = F/(a·b), où a et b désignent ici la largeur et l'épaisseur de l'éprouvette de la figure 20. La RDM utilise souvent la contrainte dans la section nette, au droit du trou : σ_nom = F/((a − d)·b) (p. 14). La contrainte maximale est la même ; seul K_t change.

Exemple. Plaque de 200 × 10 mm, trou de 10 mm de diamètre, F = 200 kN. Section brute : σ_nom = 200 000/(200 × 10) = 100 MPa, d'où σ_max ≈ 3 × 100 = 300 MPa. Section nette : 200 000/(190 × 10) = 105 MPa, et le même σ_max correspond à K_t = 300/105 = 2,85.

Essaie d'arracher d'un coup un morceau de ruban adhésif bien collé, en tirant sur toute sa largeur : c'est très dur. Soulève un coin et tire : il se décolle tout seul. Au coin, l'effort se concentre sur une toute petite longueur de colle, qui cède, puis la suivante, puis la suivante. Une fissure fait exactement cela dans un cristal : sa pointe concentre la contrainte sur quelques liaisons atomiques, qui cèdent une à une.

Combine les chapitres 1 et 2. Une fissure de clivage a une pointe d'un rayon de l'ordre d'une distance interatomique : son K_t est énorme. La rupture se produit dès que la contrainte maximale, K_t·σ, atteint la résistance théorique σ_th. Le calcul (niveau 2) conduit à un résultat capital (polycopié, p. 16) :

Quadrupler la longueur d'un défaut divise la contrainte de rupture par deux ; la centupler la divise par dix. Le vitrier exploite cette loi : sa roulette crée une rayure de quelques micromètres sur une vitre qui ne contenait que des défauts bien plus petits, et la vitre casse le long du trait sous une simple pression du doigt.

Conséquence fondamentale : la résistance d'un matériau fragile n'est pas une propriété du matériau. Elle dépend de la taille du plus grand défaut qu'il contient, donc de sa fabrication (polycopié, p. 22). La propriété du matériau, ce sera sa ténacité (cours 4).

Par la concentration de contrainte (polycopié, p. 15 et 16)

On écrit que la rupture survient quand la contrainte en pointe atteint σ_th :

Pour un clivage, le rayon en pointe est de l'ordre de la distance interatomique : ρ = b²/a ≈ x₀, donc b = √(x₀a). Pour un défaut de quelques µm, a ≫ b (« très grand devant »), et 1 + 2a/b ≈ 2a/b :

Par le bilan d'énergie de Griffith hors poly

En 1920, Griffith raisonne autrement. Une fissure de longueur 2a dans une plaque tendue libère de l'énergie élastique : la matière autour d'elle se détend. Pour une plaque d'épaisseur B, cette énergie vaut πσ²a²B/E. En échange, la fissure crée deux surfaces de longueur 2a : elle coûte 4aBγ_s. La fissure avance dès que l'énergie libérée par un petit allongement dépasse l'énergie de surface consommée :

Les deux démonstrations donnent la même loi en 1/√a ; le facteur numérique diffère de √(2/π)/(1/2) ≈ 1,6. Celle de Griffith est la plus rigoureuse : c'est l'ancêtre de l'approche énergétique G du cours 4.

Exemple. Verre : E = 70 GPa, γ_s ≈ 1 J/m². Pour une demi-longueur a = 1 µm : Griffith donne σ_r = √(2 × 70 × 10⁹ × 1/(π × 10⁻⁶)) ≈ 211 MPa, la formule du polycopié √(70 × 10⁹/(4 × 10⁻⁶)) ≈ 132 MPa. Une vitre ordinaire casse vers 50 MPa : ses défauts de surface mesurent quelques micromètres à une vingtaine de micromètres.

Le chapitre 2 a montré que la contrainte grimpe d'autant plus au bord d'un défaut que sa pointe est fine. Pour une vraie fissure, de pointe infiniment aiguë, la théorie de l'élasticité donne un résultat déroutant : devant la pointe, la contrainte d'ouverture varie comme 1/√r, où r est la distance à la pointe (polycopié, p. 17, figure 23). À 1 mm de la pointe, elle vaut dix fois ce qu'elle vaut à 100 mm ; à la pointe même, elle devient infinie. On appelle cela une singularité.

Physiquement, aucune contrainte n'est infinie : la matière plastifie ou s'endommage dans une petite zone à la pointe (cours 4). Mais un peu plus loin, la description élastique est excellente. Et elle a une propriété remarquable : autour de toutes les fissures, le champ de contrainte a la même forme. Seule change son intensité, un unique nombre noté K, le facteur d'intensité de contrainte.

Pense à une chanson diffusée sur deux enceintes : la mélodie est la même, seul le bouton de volume diffère. Deux fissures de même K, l'une dans une petite éprouvette de laboratoire, l'autre dans un pont, font subir exactement la même chose à la matière de leur pointe. C'est ce qui permet de mesurer une ténacité en laboratoire et de l'appliquer à une structure.

On place un repère (Oxyz) à la pointe : Ox dans le prolongement de la fissure, Oy perpendiculaire à son plan, Oz le long du front de fissure (la ligne qui borde la fissure dans l'épaisseur). Un point est repéré par ses coordonnées polaires : la distance r à la pointe et l'angle θ (« thêta ») avec Ox (polycopié, p. 16 et 17, figure 22). Pour une fissure ouverte par une traction perpendiculaire à son plan, la théorie de l'élasticité donne, près de la pointe :

Toutes les composantes s'écrivent σ_ij = K·f_ij(θ)/√(2πr) : une fonction de l'angle, identique pour toutes les fissures, multipliée par K et divisée par √(2πr). Dans le plan de la fissure, devant la pointe (θ = 0) :

Exemple. K = 30 MPa·√m. À r = 1 mm : σ_yy = 30/√(2π × 0,001) = 30/0,0793 ≈ 378 MPa ; à 0,1 mm : ≈ 1 197 MPa ; à 10 mm : ≈ 120 MPa. La contrainte égale R_e = 355 MPa à r = (K/R_e)²/(2π) = (30/355)²/6,28 ≈ 1,1 mm : en deçà, l'élasticité est dépassée. C'est l'ordre de grandeur de la zone plastique, détaillée au cours 4.

Domaine de validité. Ces formules valent au voisinage « non immédiat » de la pointe (polycopié, p. 17 et 21) : assez loin pour sortir de la zone plastique, assez près (typiquement r < a/10) pour que les termes finis restent négligeables. Plus loin, la contrainte retrouve la valeur nominale, alors que la formule tendrait vers zéro.

Le facteur d'intensité de contrainte se calcule avec une formule d'une simplicité remarquable (polycopié, p. 18) :

Trois boutons règlent le volume :

• σ, la contrainte qui ouvre la fissure : K lui est proportionnel. Doubler la charge double K ;
• a, la taille de la fissure : K varie comme sa racine carrée. Quadrupler la longueur double K ;
• Y, le facteur de forme, sans unité : il dit où est la fissure et comment elle est faite. Une fissure qui débouche sur un bord est plus sévère qu'une fissure noyée au cœur, à taille égale.

Un acier de construction supporte des K de l'ordre de 50 à 150 MPa·√m avant de rompre brutalement : c'est sa ténacité K_IC (cours 4). Calculer K pour un défaut, c'est donc déjà savoir s'il est loin ou près du danger.

Source : polycopié, p. 18 et 24, figure 28, pour les trois premières. Dans une pièce réelle, finie, Y dépend de toutes les dimensions (épaisseur, largeur, distance aux bords) ; il est donné par des formules ou des abaques, issus du calcul ou de l'expérience (p. 24). Le cours 4 en donnera des exemples pour les éprouvettes de ténacité.

Unités

Avec σ en MPa et a en mètres, K sort en MPa·√m. Les documents de soudage utilisent souvent les N·mm^−3/2 (σ en N/mm², a en mm) :

Exemple. Défaut débouchant de 3 mm de profondeur, σ = 150 MPa : K = 150 × 1,99 × √0,003 = 150 × 1,99 × 0,0548 ≈ 16,3 MPa·√m. Le même défaut noyé, de 3 mm de rayon : 150 × 1,13 × 0,0548 ≈ 9,3 MPa·√m, presque deux fois moins.

Superposer les contraintes hors poly

En élasticité, les facteurs K d'un même mode s'ajoutent. Une fissure soumise à la fois à la contrainte de service σ et à des contraintes résiduelles de traction σ_res voit donc K = (σ + σ_res)·Y·√a. Avec 200 MPa de résiduelles, le défaut débouchant précédent passe de 16,3 à 350 × 1,99 × 0,0548 ≈ 38,1 MPa·√m.

Une fissure a deux lèvres. On peut les déplacer l'une par rapport à l'autre de trois façons seulement (polycopié, p. 20, figure 26) :

• mode I, ouverture : les lèvres s'écartent, perpendiculairement au plan de la fissure. Comme on ouvre un livre ;
• mode II, glissement plan : les lèvres glissent l'une sur l'autre, perpendiculairement au front de fissure. Comme deux pages qu'on fait glisser ;
• mode III, glissement antiplan ou déchirement : les lèvres glissent parallèlement au front. Comme on déchire une feuille en tirant ses deux moitiés en sens opposés, hors de son plan.

Une sollicitation quelconque est une combinaison des trois, chacun avec son facteur : K_I, K_II, K_III. Le polycopié le souligne : le mode I est le plus dangereux, et c'est presque toujours lui qui rompt les pièces. D'ailleurs, une fissure sollicitée en mode mixte tend à tourner pour se placer perpendiculairement à la plus grande contrainte de traction, en mode I pur (figure 27) : on retrouve l'« ouverture » du cours 1.

Les contraintes locales s'obtiennent en additionnant les contributions des trois modes, chacune de la forme K/√(2πr) × une fonction de θ (p. 21). Dans l'épaisseur, la troisième contrainte normale vaut σ_zz = ν(σ_xx + σ_yy) en déformation plane (pièce épaisse, ν étant le coefficient de Poisson) et 0 en contrainte plane (tôle mince). Le mode III fait apparaître les cisaillements hors plan τ_xz et τ_yz.

La fissure inclinée

Une fissure traversante de demi-longueur a, inclinée d'un angle β par rapport au plan perpendiculaire à la traction σ, voit sur son plan la contrainte normale et le cisaillement de la facette inclinée du cours 1 :

Exemple. σ = 100 MPa, a = 5 mm, β = 30° : K_I = 100 × 0,75 × √(π × 0,005) = 9,4 MPa·√m et K_II = 100 × 0,433 × 0,1253 = 5,4 MPa·√m.

Après cette bifurcation, la fissure progresse presque perpendiculairement à la traction : elle s'est mise en mode I.

Cherche chaque question sur papier avant d'ouvrir la correction. Écris la formule littérale, puis les valeurs avec leurs unités. Dans les formules de K, les longueurs sont en mètres. Les manipulations 2, 4, 5 et 6 permettent de vérifier tes résultats.